X-PDF

27. Подготовка к экзамену по математике. Решение систем линейных неравенств

Поделиться статьей

27. Решение системлинейных неравенств.

 

Пусть заданынесколько неравенств с одним неизвестным. Если требуется найти число, котороеявляется решением всех данных неравенств, то совокупность этих неравенствназывают системой неравенств.

Решением системы неравенств с однимнеизвестным называется то значение неизвестного, при котором каждое неравенствосистемы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системынеравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Решить систему неравенств – это значит найтивсе решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногдасистемы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему  можно записать так: 2 < 3x-1 < 8.

 

Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится кследующим случаям. Будем считать, что a < b:

 

   ( 1 )                      ( 2)                     ( 3 )                      ( 4 )

В случае ( 1 ) решением системы служит промежуток (b

 в случае ( 2 ) – промежуток ( ab) (рис 1, б);

в случае ( 3 ) – промежуток ( -∞; a) (рис 1, в);

в случае ( 4 )  система не имеет решений (рис 1, г).

 

 

 

 

 


     

                a       b            x              a         b        x            a            b     x                 a       b        х 

                       а)                                     б)                             в)                                    г)

Рис.1.

 

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общеемножество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность системнеравенств обозначается также, как и равносильность систем уравнений, т.е. спомощью знака .

 

 

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Имеем

 

На координатной прямой изобразиммножество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств ( рис.2). Изрисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

 

 

 

                     -2,2                              3                               х    Рис.2.

Ответ: система не имеет решений.

 

 

Пример 2. Решить систему неравенств   

Решение. Заменим каждое неравенство системыравносильным ему неравенством, получим систему

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющихпоследней системе неравенств ( рис. 3).

 

 

 

 

 


                                    2     3,6                  8                   х           Рис. 3.

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

Ответ: [3,6; 8).

 

 

Пример 3. Решить систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство: 3х – 4 < 8x + 6, -5x < 10, x > -2. Оно выполняется при  x > -2.

Решимвторое неравенство : 2x — 1> 5x -4, -3x > -3, x < 1. Оновыполняется при x < 1.

Решимтретье неравенство : 11x – 9 ≤ 15x +3< -4x  ≤  12, x ≥ -3.    Оновыполняется при х ≥ -3.

Все три данных неравенства верны при х  ( -2;1).

 

 

 

 


                     

                       -3                     -2                      1                            х   Рис. 4.

 

Ответ: (-2; 1).

 

 

Пример 4. Решить систему неравенств

Решение.

                                        

Ответ: х >3.

 

 

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение.

 

                                

Ответ:

 

 

Пример 6. Решить систему неравенств

Решение.    

  

Данное неравенство верно при x < 0.

Ответ: ( — ∞; 0).

 

 

Пример 7. Решить системунеравенств

Решение.           

Данное неравенство верно при x > -3.

Ответ: ( -3; +∞).

 

Пример 8. Укажите наибольшее инаименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

          

      

Ответ: -31; 2.

 

Пример 9. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см.Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, чтопериметр треугольника меньше 80 см ?

Решение. Пусть длина боковой стороны равна хсм.

Тогда      

Длина боковой стороны может быть выражена любым числом из промежутка(6; 34).

Ответ: любым числом их числового промежутка ( 6; 34).

 

 

Пример 10. Подберите значения параметров a и b так, чтобы множество решений системы неравенств

а) было пусто;

б) состояло из одного элемента;

в) представляло собой промежуток

г) представляло собой промежуток [5;+∞).

 

 

 

 

Решение.Первое неравенство системы запишем в виде: 2х ≥ 10, х ≥5. Второе неравенствосистемы запишем в виде ах ≤ b+1.

а) Множество решений системы будетпусто, если

 

 


a>0, x1 ≤(b+1):a                                                                                 x1         5                     x  

      Рис.5.

Т.е. х1 < 5. Выберемтакие а и b, чтобы .Например, а = 2, b = 7.

б) Множество решений системынеравенств будет состоять из одного элемента, если

 

 

 


a>0, x1 =(b+1):a                                                                                     x 1 = 5                     x

Рис.6.             

Т.е. х1 = 5. Выберем такиеа и b, чтобы . Например, а = 3, b = 14.

в) множество решений данной системынеравенств будет представлять собой промежуток

 

 

 


a>0, x1 ≤(b+1):a                                                                                          5           10         x              

Рис.7.

Т.е. х1 = 10. Выберемтакие а и b, чтобы .Например, а = 1, b = 9.

г) множество решений данной системынеравенств будет представлять собой промежуток [5; +∞), если

 

 

 


a < 0, x1  ≥  (b+1):a                                                                                       х1=5                   x              

Рис.8.

Т.е. х1 = 5. Выберем такиеа и b, чтобы . Например, а = -2, b =  -11.

 

Ответ: а) например, а = 2, b = 7;   б) например, а= 3, b = 14;   

 в) например, а = 1, b = 9;

     г) например, а = -2, b = -11.

 

 

 

 

Пример11. Изобразить множество точек на плоскости,определяемое системой неравенств

Решение. Так какх + у < 1, то у < 1 – х; так как 2х – у < 2, то у > 2х – 2.Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямойу = 1 – х и одновременно над прямой у = 2х – 2. Т.е. множество решений каждогоиз этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемоесистемой этих неравенств есть пересечение полуплоскостей.

                                                                  у

                                                у=1-х

 

 

 

                                                                                       у=2х-2

                                                                       1

 

 

                                                                    0      1                                 х

 

                                                                        -2

Рис. 9.

 

 

 

Пример 12. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точекF, задаваемое системой неравенств     Какуюфигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащихпод прямой у = 5х + 4 и одновременно над прямой у = 5х +1. Т.е. множестворешений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество,определяемое системой этих неравенств есть полоса.

                                                                           y    F

 

                                                        у = 5х + 4

 

 

                                                                                  у = 5х + 1

 

                                                                                 0                    х

 

 

 

       Рис. 10.

 

 

Ответ:полоса.

 

 

 

 

 

Пример 13. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точекF, задаваемое системой неравенств     Какуюфигуру представляет собой множество F?

 

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащихпод прямой        у = -2х +4 и одновременно над прямой у = 3х +1. Т.е.множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.Множество, определяемое системой этих неравенств есть угол.

                                                                      у = -2х + 4

 

 

                                                                              4

                                     F

 

                                                                             1

                                                                              0     2                х

 

 

 

                                                                        у= 3х + 1

 

 

 

Рис.11.    Ответ: угол.

 

 

Пример 14. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точекF, задаваемое системой неравенств     Какуюфигуру представляет собой множество F?

 

Решение.Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой       у = -2х +4 и одновременно под прямой у = х +2 и над прямой у = -5. Т.е.множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.Множество, определяемое системой этих неравенств есть треугольник.

                                              у

 

                                                    у = х + 2

 

 


                                                            0                   х

                                                                    у = -2х + 4

 

                                                         -5

                                                                              у = -5

 

Рис.12.

Ответ:треугольник.

Пример 15. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек F, задаваемое системой неравенств     Какуюфигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащихпод прямой        у = -х + 6 и одновременно под прямой у = 2х +8 и над прямой у= -х + 2 и над прямой 2х + 2. Т.е. множество решений каждого из этих линейныхнеравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенствесть параллелограмм.

                                                                       у

 

 


                                                                                         у = 2х + 2

                                                                       6

 

                                                                                        у = — х + 6

 

 


                                        у = 2х + 8

                                                                       2

                                                                                     у = — х + 2

                                                  -4               –1  0          2                    х

 

Рис.13.

Ответ:параллелограмм.

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,показанную на рисунке 14 штриховкой.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                              а)                                                           б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                              в)                                                           г)

Рис.14.

 

Решение. а)

б) Составимуравнение прямой, проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8):

  у = -1,6х + 8 – уравнение прямой,проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8).

Искомая системанеравенств:

в)     

  у = -х + 3 –уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; 3).

 

     

у = 0,5х + 3 –уравнение прямой, проходящей через точки ( -6; 0) и ( 0; 3).

 

     

у = 2х — 6 –уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; -6).

Искомая системанеравенств:

 

г) Зная для каждойиз прямых, ограничивающих четырехугольник, координаты двух точек, записываем ееуравнение.

Искомая системанеравенств:

Ответ:    а)           б)       в)           г)

 

Пример 17. Задайте системой неравенств четырехугольник АВСD,вершинами которого служат точки: А ( -5; 0),   В (1; 3),   С ( 3; -1);   D ( -2; -4).

Решение.

Четырехугольник АВСD ограничен прямыми АВ, ВС, CD, DA ( рис. 15). Зная координаты двух точек прямой, можно записатьуравнение этой прямой.

Для прямой АВимеем:

           

                         у = 0,5х + 2,5 – уравнение прямой АВ.

Рис. 15.

Для прямой ВСимеем:           

 у = -2х + 5 –уравнение прямой ВС.

 

Для прямой СD имеем:           

 у = 0,6х – 2,8 –уравнение прямой CD.

 

Для прямой DA имеем:           

 у = x     – уравнение прямой DA.

Искомая системанеравенств:

Ответ:

 

 

 

Пример 18. Покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяютнеравенству: а) у > x.

Решение. а) См. рис. 16, а.

б) Искомоемножество – множество точек, расположенных выше графика функции     ( рис. 16, б).

в) Рассмотримотдельно каждую из координатных четвертей. В I четвертинеравенство примет вид у > х. Ему соответствует множество точек первогокоординатного угла, расположенного выше биссектрисы этого угла. Во II и III  четвертях, неравенству удовлетворют координатылюбой из точек. В IV четверти неравенство примет вид –у> x, т.е. у < -х. Ему соответствует множество точекчетвертого координатного угла, расположенного ниже его биссектрисы ( рис. 16,в).

г) Рассматриваемотдельно каждую из координатных четвертей ( рис. 16, г).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  а)                                                                 б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       в)                                                              г)

 

Рис.16.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатнойплоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –8)(у – 4) ≥ 0;   б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0;   в) х2 – у2 ≥0;   г) х2 – 4у2 ≤ 0.

 

Решение. а)Неравенство верно, если  или  ( рис. 17, а).

б) Неравенство верно, если  или   (рис. 17, б).

в) Представим неравенство в виде ( х – у)( х +у0 ≥ 0. Неравенство верно, если   или   ( рис. 17, в).

г) Представим неравенство в виде ( х – 2у)(х +2у) ≤ 0. Неравенство верно, если  или   ( рис. 17, г).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                а)                                                                      б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                в)                                                              г)

Рис.17.

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

Решите систему неравенств:

1.                                                

2.                                               

3.                                     

4.                                                  

5. Укажитенаибольшее и наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств:

                                                                              

6. Подберите значение параметра a так, чтобы для системы неравенств

а)наименьшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 3;

б)наибольшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 12;

в) не существовало бы ни одного целого числа, удовлетворяющего системе.

 

7. Решитесистему неравенств :     а)                            б)  

                                                          в)                            г)

8. Решитесистему неравенств:

а)                          б)

в)                                        г)

9. Решитесистему неравенств:

а)                                              б)   

в)                                  г)

10. Решитесистему неравенств:

а)           б)  

 в)                     

 г)

 

11. Прикаких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно решение:

     а)                   б)                  в)                  г)

 

 

12. Прикаких значениях а система неравенств не имеет решений:

     а)                   б)                  в)                  г)

 

13. Существуютли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( 5; + ∞);   б)( 3; +∞);   в) [3; +∞);   г) ( 2; +∞) ?

 

14. Существуютли такие значения а, при которых решением системы неравенств    является промежуток: а) ( -∞ ; 7);    б) ( -∞; 5);   в) ( -∞; 5];   г) ( -∞; 2) ?

15. Прикаких значениях а система неравенств    неимеет решений? 

16. Прикаких значениях а система неравенств    имеет хотя бы однорешение?

 

17. Решитедвойное неравенство : а) –3 < 3 – 2x < 1;     б) –2< 3x – 1 < -1;  

                                в) 0 < 4 – 3x< 2;       г) 0 < 1 – 2x < 1.

 

18. Решитесистему неравенств:

а)    б)   в)   г)

 

19.Решите систему неравенств:

а)    б)    в)    г)

 

20. Найдитесередину промежутка, являющегося множеством решений системы неравенств:

а)                      б)

21. Найдитенаименьшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

 

22. Найдитенаибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

 

23. Прикаких значениях k и b  множествоточек плоскости, задаваемое системой неравенств  а)представляет собой полосу;   б) представляет собой угол;   в) пустое множество?

24. Запишитесистему неравенств, задающую на координатной плоскости множество точек,показанное штриховкой на рисунке   20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       а)                                                                        б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      в)                                                                          г)

Рис. 20.

 

 

Ответы: 1. х  [-0,5; 0,5).   2. х  (-3; -1).   3. х  (2,4; 18).   4. х ≤ 0.      5.     6. а) например, а =1;   б) например, а=0,5;     в) например, а =13,2.  

 9. а)1<x<3;   б) 4/7 < x <8/3;   в) 1/7 < x <16/7;   г) x> 4.   10. а) 0,05<x<0,1.   

11. а) a<3;   б) а<5;   в) а ≤ 7;   г) а ≥2.     12. а) а ≥ 2;   б) а ≥ 2;   в) а > 5;   г) а ≤ 2.

13. а) а = 5;   б) а ≤ 3;   в), г) не существует.     14. а) Несуществует;   б) а = 5;   в) а > 5;   г) а = 2.

15. а ≤ 2.   16. а > 21/127.      17. а) 1<x<3;   б) –1/3 <x<0.   18. а)–0,5<x<0,6;   б) 0,25<x<1/3.

19. а) х=1,5;   в) 3,6< x <5;   г) 1 < x ≤ 2,5.   20. а) 0,925;   б) –0,5.   21. 1.    22.5.  

23. а) при k = 3, b < -1;   б)  k ≠ 3, b – любое;   в) k = 3 , b > -1. ( см. рис. 25)

 

          у

 

 

 

 


0     2                      х         

 

 

 

 

 


Рис. 25.

 

 

24.  а)    б)    в)    г)

 

 

 

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.69%
НЕТ
41.31%
Проголосовало: 990

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет