Для упрощения вычисления некоторых пределов можно использовать следующую теорему, основанную на эквивалентности бесконечно малых функций.
Теорема 6.1. Пусть и , и – попарно эквивалентные бесконечно малые функции при , т.е. и при . Тогда если существует , то существует и , при этом выполняется равенство . Другими словами, предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями. Сказанное справедливо и для эквивалентных бесконечно малых функций при .
Примеры 6.1. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые:
1) .
Решение: В данном примере имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулю при . Поэтому для вычисления предела воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций: и при . Тогда
.
2) .
Решение: В данном примере также имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Поэтомудля раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: , а знаменатель разложим на множители:
|
|
.
3) .
Решение: В данном примере снова имеем дело с отношением двух бесконечно малых функций: числитель и знаменательстремятся к нулюпри . Тогда для раскрытия неопределенности заменим числитель эквивалентной бесконечно малой функцией: и далее воспользуемся формулой разности квадратов:
.