Пусть — произвольное кольцо.
Определение. Отличный от нуля элемент кольца называется делителем нуля в данном кольце, если в существует отличный от нуля элемент , такой, что или (разумеется, в этом случае и элемент является делителем нуля в ).
Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, без делителей нуля.
Примеры
6.1. В кольце классов вычетов по модулю делителями нуля являются классы , , , т.к. , .
6.2. В кольце квадратных матриц второго порядка с действительными элементами делителями нуля являются, например, матрицы
, , так как
, , так как .
6.3. В кольце функций, непрерывных на множестве , делителями нуля являются, например, функции
, , так как .
Отсюда следует, что кольца из приведенных примеров областями целостности не являются.
6.4. Любое поле является областью целостности.
Действительно, пусть — поле. Пусть элемент , является делителем . Тогда существует , такой, что (1).
По определению поля, для , существует элемент , обратный , то есть . Умножим обе части равенства (1) на . Получим , то есть . Полученное противоречие доказывает, что в поле нет делителей нуля, следовательно, — область целостности.
6.5. — поле комплексных чисел, а значит, область целостности. В нет делителей нуля, тогда их нет ни в одном числовом кольце. Следовательно, все числовые кольца, содержащие не менее двух элементов, являются областями целостности. В частности, , , , , и т.п.
Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце