Определение. Собственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых на плоскости, проходящих через данную точку (называемую центром пучка).
Пусть – центр пучка (известен).
Пусть – уравнение .
Т.к. , то
. (6.1)
(6.1) – уравнение пучка (прямой, проходящей через данную точку ).
2) Пусть центр пучка неизвестен. Если и и
()
()
и .
Тогда уравнение
(6.2)
при условии
(6.3)
определяет некоторую прямую из , и, следовательно, является уравнением пучка прямых.
Действительно, соотношение (6.2)
, (6.4)
т.е. является уравнением вида , т.е уравнением некоторой прямой , причем .
(Если , то это означает, что и , т.е. справедлива система соотношений
,
которая в силу условия (6.3) обязана иметь ненулевое решение. А это означает, что определитель этой системы должен быть равен нулю:
.
А это равносильно условию
,
и, следовательно, . Получили противоречие. Значит, действительно и уравнение (6.2) определяет прямую).
Кроме того, если – точка пересечения прямых и , т.е. центр пучка, то , т.к.
,
и поэтому
|
|
,
следовательно, .
Замечание: Уравнение (6.2) зависит не от самих и , а от их отношения.
Если , то (6.2) при
. (6.5)
Соотношение (6.5) – уравнение прямой собственного пучка.
Если , если же .
Определение. Несобственным пучком прямых называют множество всевозможных прямых плоскости, параллельных некоторой прямой.
Пусть прямая ()
определяет несобственный пучок прямых и ()
Т. к. , то
и . (*)
Умножим теперь обе части уравнения прямой на :
.
В силу соотношений (*) при получаем
. (6.6)
Таким образом, если прямая задана общим уравнением и определяет несобственный пучок прямых, то уравнение произвольной прямой этого пучка, не совпадающей с прямой , отличается от уравнения прямой только значением свободного члена.