Под асимптотикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки
, в которой функция, как правило, не определена.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.
Определение. Если и
— бесконечно малые функции в
и
,
то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .
Определение. Если ,
— бесконечно большие функции и
,
то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .
Определение. Если функции ,
— бесконечно малые и
, то говорят, что
является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с функцией
.
Определение. Если функции ,
— бесконечно малые и
то они называются эквивалентными при
.
Функции и
, эквивалентные при
, называют также асимптотически равными при
.
|
|
Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~.
~
.
Например, из первого замечательного предела следует
~
.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~
и
~
.
![Анастасия](/wp-content/uploads/2023/11/expert.webp)