Определение точки М в трехмерном пространстве.
Пусть имеются Mx, My, Mz, Mx, My, Mz, являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz.
Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM
. Изобразим это на координатных прямых.
Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz
Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM), которые имеют название координаты точки M, гдеxM, yM, zM — это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.
Примеры решения заданий по данной теме:
1. Координатные оси прямоугольной системы координат переносятся без изменения направления осей в точку O 1(3, -1) и поворачиваются на угол 30°. Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A (3, 4).
Решение.
Сначала перенесем параллельно координатные оси, не изменяя их направления, в точку (3, -1). По формулам
(1)
получаем x 1 = 0 . y 1 = 5. Повернем теперь оси координат x 1O 1y 1 на 
. координаты точки в системе координат x 2O 1y 2 найдутся по формулам (1), в которых надо заменить x 1 на x 2, y 1 на y 2, x на x 1, а y на y 1.
Получаем
Подставляя в эти формулы 
будем иметь искомые координаты точки
2. Чему будут равны координаты точки 
, если повернуть оси координат на угол без изменения начала координат?
3. Координатные оси прямоугольной системы координат переносятся без изменения направления осей в точку O1(3, -1) и поворачиваются на угол 30°. Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A(3, 4).
4. Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x2 — y2 = a2, если оси координат повернуть на угол φ = — 45°?
5. Преобразовать дробно-линейную функцию y = (2x + 3)/(3x + 4) так, чтобы в преобразованном виде она не содержала членов первого измерения, и начертить эскиз кривой.
Решить самостоятельно:
1. Решение.
Воспользуемся формулами
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Возьмем x 1 = -2 . x 2 = -4 . y 1 = 4 . y 2 = 10. Тогда абсцисса середины отрезка AB
а ордината середины отрезка AB
Итак, середина отрезка AB — точка C (-3, 7).
1. Найти координаты точки C — середины отрезка, соединяющего точки A (-2, 4) и B (-4, 10).
Решение.
Пусть P, N и K — точки касания вписанной окружности со сторонами Δ ABC (см. рисунок).
По условию, KB = n, CK = m, где n > . m. Пусть AB = x, тогда AN = AB — NB = x — n. По теореме Пифагора 
.
Итак, искомая величина 
.
2. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него окружности делит один из катетов на отрезки длиной m и n (m < . n).
3. Найти координаты конца B отрезка, если другой конец отрезка — точка A (-5, -7), а середина отрезка — C (-9, -12).
Решение.
В формулах
(1)
координаты середины отрезка обозначены через x и y. По условию задачи x = -9 .
y = — 12. Координаты одного конца отрезка точки A в этих формулах x 1 = — 5 . y 1 = — 7. Координаты точки B (другого конца отрезка) — величины неизвестные, которые мы обозначим через x 2 и y 2. Тогда по формулам (1) для определения этих неизвестных получаем два уравнения:
Отсюда
-18 = -5 + x 2 и x 2 = -13,
-24 = -7 + y 2 и y 2 = -17.
Ответ: x 2 = — 13, y 2 = — 17.
4. Даны координаты середин сторон треугольника: E (7, 8) . F (-4, 5) . K (1, -4). Определить координаты вершин треугольника.
5. Доказать, что сумма квадратов медиан любого треугольника составляет 75% от суммы квадратов его сторон.
Решение.
Длина медианы треугольника выражается формулой 
, где a, b и c — длины сторон треугольника, тогда 
. Таким образом, имеем 
. Что и требовалось доказать.
6. Точки A (2, 4), B (-3, 7) и C (-6, 6) — три вершины параллелограмма, причем A и C — противоположные вершины. Найти четвертую вершину.
7. Отрезок AB, соединяющий точки A (2, 5) и B (4, 9), разделить в отношении 1:3.
8. Концы отрезка AB имеют координаты A (-4, 8), B (6, -2). Найти координаты точек C и D, делящих отрезок AB на три равные части.
9. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?
10. Треугольник разбит медианами на шесть частей, не имеющих попарно общих внутренних точек. Сравнить площади этих частей.
Решение.
Пусть M — точка пересечения медиан AM 1, BM 2, CM 3 треугольника ABC (см. рисунок).
В Δ AMC MM 2 — медиана . поэтому
S Δ AMM 2 = S Δ CMM 2. (1)
Аналогично получаем, что
S Δ AMM 3 = S Δ BMM 3, (2)
S Δ BMM 1 = S Δ CMM 1. (3)
Далее имеем S Δ ABM 2 = S Δ BCM 2 (BM 2 — медиана) . откуда в силу (1) получаем, что S Δ ABM = S Δ BCM . Используя равенства (2) и (3), из последнего равенства имеем S Δ BMM 3 = S Δ BMM 1.
Аналогично получим, что S Δ СMM 1 = S Δ СMM 2 и S Δ AMM 2 = S Δ AMM 3.
Следовательно, части равновелики.
11. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника, вершинам которого соответствуют координаты: A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) (толщину пластинки не учитывать).
12. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A (2, -3), B (1, 1), C (-6, 5).
13. Доказать, что три точки A (1, 8), B (-2, -7), C (-4, -17) лежат на одной прямой.
14. В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого угла, если гипотенуза треугольника равна c, а один из острых углов равен α.
15. Тангенс тупого внешнего угла прямоугольного треугольника равен k. Найти тангенс острого угла треугольника, не смежного с данным внешним углом.
16. Доказать, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах.
17. В окружность радиуса R вписан правильный n -угольник, площадь которого равна 3 R 2. Найти n.
