Рекомендации по решению задач по механике с примерами решений

Решение типовых задач по механике не сложно. Как правило, эти задачи связаны с использование основных понятий механики и простых соотношений между ними. Примером такой задачи может быть следующее условие: показать, что при заданной скорости запуска диска спортсменом максимальная дальность полета достигается при угле пуска равном 45 ˚к горизонту. Для решения этой задачи достаточно помнить или найти в учебнике формулу для максимальной длины полета тела, брошенного под углом к горизонту. Применяя условие экстремума к функции, легко найти, что угол 45 ^o отвечает максимуму длины.

Значительно сложнее решать задачи по механике, в которых решение не определяется готовыми формулами, а требует напряженных размышлений и глубокого понимания материала темы. Задачи такого плана в большом количестве даны в известном задачнике Московского физико-технического института: С.М.Козел, Э.И.Рашба, С.А.Славатинский «Сборник задач по физике». Переход от уверенного решения простых задач к столь же уверенному решению сложных является типичным примером развития творческих способностей студента. Он хорошо отражает общую тенденцию познания, когда человек переходит от понимания простого к пониманию сложного. Самое ценное при этом состоит в том, что на этом пути происходит постоянного накопления знаний и навыков, и приемы простых решений становятся составными шагами сложных. Сказанное означает, что приемы и алгоритмы решений как простых, так и сложных задач имеют общие основы или правила. Эти правила можно сформулировать так.

Правило 1. Успех решения задачи зависит от того, насколько глубоко поняты условия задачи.

Под пониманием подразумевается уверенные знания всех физических величин, входящих в условие задачи, а также ясное видение причинно-следственных связей между величинами задачи. Если по задаче нет ясных представлений ни о физических величинах, ни о функциональных связях между ними, необходимо открыть конспект лекций или учебник и внимательно прочитать нужный материал. Для поиска в учебнике нужного материала следует воспользоваться оглавлением и условиями задачи. Если в задаче фигурирует материальная точка, следует обратиться в разделы кинематики и динамики материальной точки. Если в условии идет речьо твердом теле, нужно открыть главы, посвященные кинематике и динамике твердого тела. И так следует поступать в любом случае, когда знаний на данный момент не хватает. Они появятся, но для этого придется напрячь мозги и потрудиться.

Правило 2. Для того, чтобы решить задачу, нужно построить логическую пошаговую схему, которая позволит перевести данные задачи в искомое решение. Примеры построения таких логических схем при решении задач повышенной трудности приведены в этом разделе.

Правило 3 (техническое). Решение задач, за редким исключением, должно производиться в алгебраических величинах. Это облегчает как саму процедуру вычислений, так и проверку правильности промежуточных шагов. Алгебраический подход позволяет также на каждом шаге задачи использовать метод размерностей для проверки промежуточных и окончательных выводов. При проведении численных вычислений нужно пользоваться правилом приближенных вычислений. В частности, точность вычислений должна соответствовать точности заданных исходных физических величин.

Объединяя два первых правила вместе, получим общий алгоритм решения з адач по механике:

1. Строится физическая модель задачи, проводится при необходимости сведение ее к последовательности логически связанных подзадач, решение каждой из которых известно ранее, проводится объединение решений всех подзадач в окончательное решение.

2. Определяются ключевые понятия задачи и функциональные связи между ними. Фиксируются «внешние» условия задачи: характер движения физического объекта, замкнутость или разомкнутость физической системы, характер действующих в ней сил: потенциальных или нет, следствия из этих условий и т.д.

3. Строится логическая схема решения, проводится при необходимости сведение ее к последовательности логически связанных подзадач, решение каждой из которых известно ранее, проводится объединение решений всех подзадач в окончательное решение.

Ниже на примере решения трех задач повышенной трудности дана демонстрация того, как ищется решение в соответствии с приведенным алгоритмом. Три других примера конструирования решений даны в разделе 5 «Задачи-оценки».

Задача 1

С колеса движущегося автомобиля соскакивает декоративный колпак, который, попрыгав по дороге, начинает катиться без скольжения. При какой скорости автомобиля V_o это возможно? Радиус колеса равен R= 40 см, колпак можно рассматривать как однородный диск радиусом r=20 см, коэффициент трения между колпаком и дорогой k= 0,2.

1 .Физическая модель задачи

Вначале колпак движется с колесом с поступательной скоростью V_o и угловой скоростью вращения _o=V_o /R. После срыва центра масс колпак падает с высоты (R-r) на дорогу и начинает подскакивать, испытывая с дорогой неупругие столкновения.

В каждый момент контакта с землей на колпак действуют две силы: трение скольжения и реакция поверхности, равная по величине и противоположная по направлению силе давления колпака на поверхность. Эффекты от действия этих сил легко определить из рисунка.

Как видно из рисунка, сила трения замедляет поступательное движение колеса, одновременно ускоряя его вращательное движение, так как момент этой силы направлен в направлении вращения.

Из-за неупругого взаимодействия колпака с дорогой после каждого удара подскок колпака становится ниже и ниже, и, наконец, подпрыгивание прекращается. Это означает, что вся потенциальная энергия, которой колпак обладал вначале- израсходована, вместе с ней была потеряна и часть энергии поступательного движения за счет действия силы трения.

2 Основные понятия

Качение без проскальзывания, неупругие столкновения, сила трения скольжения, момент силы трения, сила реакции, сила давления, уравнение движения твердого тела.

Качение без проскальзывания это движение колеса, в данной задаче колпака, когда в точке контакта колеса и поверхности, скорость колеса равна нулю. Это означает, что нет скольжения одного тела относительно другого. При качении без проскальзывания колпака скорость его центра масс связана с угловой скоростью вращения соотношением:

При проскальзывании это условие не выполняется и , или .

Сила трения скольжения равна , где N — сила давления, равная и противоположная по направлению силе реакции опоры. Сила давления в общем случае зависит от характера взаимодействия тел. В частности, в данной задаче она зависит от вертикального импульса центра масс колеса. Связь всех названных физических величин задачи задается уравнением движения твердого тела:

,

,

где m и I -масса и момент инерции колпака, t — время,

— моменты сил трения и реакция опоры относительно центра масс колпака.

3. Логическая схема решения

Запишем уравнения движения колпака в координатных осях x, y и z (ось z проходит через центр масс колеса):

, , .

В приведенных формулах все обозначения соответствуют рисунку. Момент силы реакции в последнее уравнение не входит, так как он равен нулю.

Разделим первое уравнение на второе. В результате получим:

или

.

Проинтегрируем полученное уравнение в пределах изменения скорости V _x от V_o до V_кач, а V_y от V_yo до нуля.

Так как центр масс колпака падает с высоты (R-r), то V_oy равна:

.

Окончательно:

.

Свяжем теперь поступательную скорость движения колпака с его угловой скоростью. Для этого разделим первое уравнение системы на третье. Получим,

Проинтегрируем левую часть уравнения в пределах от V _o до V _кач , а правую часть от _o до _кач

Учитывая, что:

получим:

.

Теперь объединим промежуточные результаты

Выделяя V _o, имеем:

. Подставим в последнее выражение численные значения, найдем, что подобное движение колпака возникает при