Координаты вектора.
Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты точек А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2).
Z A Имеем: АВ = ОВ – ОА =(x2i+y2j+z2k)-(x1i+y1j+z1k)=
(x2— x1)i + (y2 — y1)j + (z2 — z2)k
B Следовательно, координаты вектора равны разнос-
ти соответствующих координат конца и начала век-
тора.
АВ = (x2— x1 . y2 — y1 . z2 — z2)
k
i j y
x
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
(1)
где φ – угол между векторами а и b
Формуле (1) можно придать иной вид, так как │а│cosφ = прba и │b│cosφ = праb, то получим:
(2)
а
φ
b
То есть Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось.
Свойства скалярного произведения:
1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством.
так как │а││b│= │b││a│, cos(a,b) = cos(b,a), то ab = ba
2)Скалярное произведение обладает сочетательным свойством, относительно скалярного множителя.
(λa)b = λ (ba)
|
|
(λa)b = │b│прbλa = λ│b│прba = λ (ab)
3) Скалярное произведение обладает распределительным свойством:
a(b + с) = ab + ac
a(b + c) = │a│пра(b+c) = │a│(прab+прac) = │a│прab+│a│прaс = ab + ac
4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
а2 = │а│2
а2 = а∙а = │а│∙│а│cos1 = │а│∙│а│= │a│2
В частности i2 = j2 = k2 = 1
Если а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначаль-
ный вектор, а его модуль.
Пример:
Найти длину вектора с=3а-4b, если │а│=2 .│b│=3 . (a,b)=π3
Решение:
│с│=
5)Если вектора a и b ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Следовательно верно и обратное утверждение: если произведение векторов а и b равно 0, значит вектора взаимно перпендикулярны.
В частности: ij = jk = ki = 0