Пусть дано уравнение
,
связывающее значения трех переменных , и . Рассмотрим множество тех пар чисел , для которых значения , обращающие совместно с , то уравнение в тождество.
Подставив каждой паре чисел из этого множества в соответствие те значения , для которых , получим однозначную или многозначную функцию двух переменных
.
Функцию будем называть неявно заданной уравнением , или просто неявной функцией двух переменных.
Найдем частные производные и неявной функции , определяемой уравнением .
Когда ищем , то считаем аргумент постоянным. Поэтому здесь применима формула (5.6), если только независимой переменной считать , а функцией . Следовательно,
. (7)
Аналогично находим производную :
. (8)
Обе формулы найдены в предположении, что .
Пример 5. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением .
Решение.
В данном случае , поэтому имеем
, , .
Следовательно, по формулам (7) и (8) находим
, .
В общем случае, когда уравнение
Определяет как некоторую функцию от , аналогично предыдущему найдем
|
|
, (9)
где .