Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции 
от значений самой функции 
, будет наименьшей: 
. Обычно функция 
является функцией нескольких аргументов 
, где 
— неизвестные коэффициенты многочлена. Тогда на основании 
экспериментальных пар 
следует определить 
искомых аргументов аналитической зависимости, которая наилучшим образом описывает массив 
, т.е. в этом случае метод наименьших квадратов требует выполнения условия:
.
Применение метода наименьших квадратов при статистической обработке результатов измерений требует учета ряда условий:
§ Значения аргументов 
известны точно .
§ Результаты измерений 
независимы и содержат лишь случайные погрешности с одинаковыми дисперсиями .
§ Погрешности измерения 
имеют нормальное распределение.
Первое условие приближенно выполняется за счет измерения значения 
с меньшей погрешностью, чем 
. Наличие только случайных погрешностей обеспечивается исключением из результатов измерений возможных систематических погрешностей.
|
|
|
На основе метода наименьших квадратов можно выполнять аппроксимацию различных аналитических зависимостей, например, выражаемых такими полиномами:
, где a, b, c, d, …, g – константы.
Рассмотрим случай, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида 
.
При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из 
экспериментальных координат (
) найти такие оценки неизвестных постоянных a и b, при которых получится прямая линия, наилучшим образом отражающая истинную анализируемую линию.
График функции – прямая линия с коэффициентом b = tgα, пересекающая ось ординат в точке а.
В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам a и b соответствуетминимальное значение выражения 
, где 
— отклонение измеренных значений 
от вычисленных при 
.
Эта величина минимальна, если ее частные производные равны нулю:
и 
= 0.
Решая систему этих двух уравнений, находим формулы для оценок значений a и b:
При этом:
. 
. 
. 
. 
.
Степень приближения найденных значений a и b к истинным значениям
Этих величин оценивается с помощью их СКО 
и 
:
, 
,
где 
— СКО погрешности измерения величины y, значение которой можно получить из паспортных данных на средство измерения или вычислить по формуле:
.
В качестве примера практического применения метода наименьших квадратов рассмотрим аппроксимацию нагрузочной характеристики одного из устройств преобразовательной техники. Для построения нагрузочной характеристики измеряют 5… 10 пар значений выходного напряжения 
и тока нагрузки 
. Индекс 
соответствует текущему измерению (n – число измерений).
|
|
|
В данном примере было снято десять пар (n=10) экспериментальных точек 
и 
напряжения и тока соответственно.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
 ,B |
5,35 | 5,20 | 5,11 | 4,92 | 4,76 | 4.76 | 4,50 | 4,33 | 4,30 | 4,04 |
 ,mA |
105 | 110 | 129 | 148 | 154 | 181 | 190 | 206 | 225 | 241 |
По полученным экспериментальным результатам построим графическое отображение полученных пар и аппроксимируем их.
Рис. 1 Аппроксимация исследуемой зависимости методом наименьших квадратов
Из расположения экспериментальных точек видно, что аппроксимирующим уравнением может быть полином первой степени типа 
. Таким образом, на основании массива экспериментальных данных по уравнениям вычисляем коэффициенты a и b:
.
Следовательно, исследуемое устройство имеет нагрузочную характеристику, аналитически описываемую как
ПРИМЕР 2
Требуется установить реальную зависимость сопротивления металлического проводника от температуры 
по результатам совместных измерений температуры и сопротивления. При этом теоретическая зависимость определена как 
, где 
— сопротивление проводника при температуре 0 0С . 
— температурный коэффициент сопротивления проводника . 
— температура в 0С.
 ,0С |
10 | 15 | 20 | 25 |
 , Ом |
10,3 | 10,9 | 11,3 | 11,6 |
Преобразуем заданную зависимость 
в вид 
, где 
, 
.
Расчеты по формулам
. 
. 
. 
. 
при п=4, 
= ti,, и 
дают следующие результаты: а = 9б52 Ом, b = 0,09 Ом/градус.
Пусть средство измерения имеет СКО 
Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам
, 
,
получим: 
Ом, 
Ом/ градус.
Окончательно получаем:
Ом. 
Ом/градус.
