Это уравнение линейное относительно и . Положим , где и – вспомогательные искомые функции. Заметим, что если , то один из множителей ( или ) можно выбрать произвольно (но не равным нулю). Тогда и уравнение примет вид
.
Раскроем скобки и сгруппируем члены, содержащие :
, . | (1) |
Выберем функцию таким образом, чтобы скобка в (1) обращалась в нуль. Тогда уравнение равносильно следующей системе:
(2) (3) |
Уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
, , , , , ,
(берем простейшее частное решение этого уравнения, считая произвольную постоянную С, возникающую при взятии интеграла, равной нулю).
Подставляем найденное значение в уравнение (3). Имеем
, .
Интегрируя, находим
.
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Ответ: Общее решение: .
Второй способ. Метод Лагранжа.
Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, , , , , .
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией , т.е. полагаем и решение исходного уравнения ищем в виде .
Находим производную: . Подставляем значения и в исходное уравнение:
, ,
, , .
Подставляя найденное выражение в искомое общее решение, получим
.
Естественно, такое же решение было получено методом Бернулли.
Уравнение Бернулли
Определение. Дифференциальное уравнение вида , , , (или ) называется уравнением Бернулли.
Если , то уравнение линейное, а при – с разделяющимися переменными.
Способ решения. Подстановка сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению, и поэтому его можно решать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. подстановкой или методом вариации произвольной постоянной. Но на практике уравнение Бернулли удобнее решать подстановкой сразу же, без сведения его к линейному.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию .
Решение:
Данное уравнение является уравнением Бернулли (). Положим , и уравнение примет вид
.
Сгруппируем члены, содержащие :
. | (1) |
Уравнение (1) равносильно следующей системе:
(2) (3) |
Решим уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
, , , , , , .
Подставляем найденное значение в уравнение (3). Имеем, , – уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.
, , , , , .
Окончательно, общее решение исходного уравнения
.
Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. при значение . Подставив в общее решение, получим
, , , .
Следовательно, искомое частное решение .
Ответ: Частное решение: .