Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Комбинаторика
Перестановки -
2 слайд
Представителям разных профессий приходится решать задачи, в которых из некоторого множества объектов нужно выбирать элементы, имеющие те или иные свойства и размещать эти элементы в определенном порядке.
-
3 слайд
Поскольку в таких задачах идет речь о комбинировании объектов, их называют комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, отвечающих тем или иным условиям можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.
-
4 слайд
В наше время комбинаторные задачи приходится решать физикам, химикам, биологам, экономистам, специалистам самых разных профессий.
-
5 слайд
Перестановки
Любое упорядоченное множество, которое состоит из элементов, называется перестановкой из элементов и обозначается
Таким образом, перестановки из элементов отличаются между собой только порядком элементов.
Два элемента а і b можно упорядочить двумя способами: і .
Это две перестановки из элементов а і b. То есть
= . -
6 слайд
Чтобы образовать перестановки из трех элементов , , с можно третий элемент с поместить впереди пары , посередине пары и в конце пары :
, , .
Точно так из пары можно получить:
, , .
То есть, для трех элементов существует 2 · 3 = 6 способа размещения по порядку, число перестановок з трех элементов равно 6.
= · = . -
7 слайд
Пусть имеем k элементов, из которых составлены все возможные перестановки. Возьмем одну из них:
, , ,⋯
Добавим еще один ( + )−й элемент. Его можно поместить:
перед первым элементом ;
перед вторым элементом ;
перед третьим элементом ;⋯
перед — ым элементом ;
в конце всех элементов,
то есть, всего + способом.
То есть количество перестановок из + элементов в
( + ) раз больше, чем число перестановок из элементов, то есть:
+ = ∙ + -
8 слайд
То есть
1 =1
2 = 1 · 2 = 1 · 2 = 2;
3 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 6;
4 = 3 · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;
5 = 4 · 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120;
⋯
= −1 · = 1 · 2· 3 ·… · ;
+1 = · ( +1) = 1 · 2 · 3 ·· · ( +1). -
9 слайд
Произведение натуральных чисел от 1 до данного натурального числа n называется факториалом числа n и обозначается n!
Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, то есть n!
(читают: n — факториал).
= ! -
10 слайд
Задание 1
Сколькими способами можно расставить на площадке 6 волейболистов?
6 =6!
6 =1∙2∙3∙4∙5∙6=720
Задание 2
Вычислить:
8!+9!=8! 1+9 =8!∙10=403200
9!−8!=8! 9−1 =8!∙8=322560
100! 99! = 1∙2∙3⋯∙99∙100 1∙2∙3⋯∙99 =100 -
11 слайд
Задание 3
Сократить дробь
! −1 ! = 1∙2∙3∙⋯ −1 ∙ 1∙2∙3∙⋯ −1 =
−2 ! ! = 1∙2∙3∙⋯ −2 1∙2∙3∙⋯ −2 −1 ∙ = 1 −1
−1 ! −3 ! = −2 −1 -
12 слайд
Задание 4
Решить уравнение
+2 ! ! =72
+1 +2 =72
+1 +2 =8∙9
+1=8
=7
Самостоятельно: +1 ! −1 ! =30 -
13 слайд
Задание 5
Сколькими способами можно разместить на полке пять томов определенного писателя так, чтобы тома не были расположены друг за другом в порядке роста их номеров?Решение:
Так как расположить тома в порядке возрастания их номеров можно только один раз, то этот случай необходимо исключить из решения, следовательно:− = − =
-
14 слайд
Самостоятельно:
Сколькими способами можно распределить 8 проводников в 8 вагонов электропоезда, если за каждым вагоном закреплять одного проводника?
Сколько пятицифровых чисел можно записать, используя пять разных цифр, кроме нуля?
Сколькими способами можно составить список из 15 учеников?
Сколькими способами можно посадить 6 учеников за круглым столом?
