Разговоры о важном

Геометрический смыслопределённого интеграла.

 

Криволинейнойтрапециейназывается фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции f(х), прямыми х = а, х = b и отрезком оси Ох.

Геометрическийсмысл определённого интеграла:

Определённыйинтеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующейкриволинейной трапеции:

.

 

     Площадьвсякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составленаиз площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оy.

 

     Задачи навычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

 

1.     Записывают каждую функцию ввиде y = f(x).

2.     По условию задачи делаютсхематический чертёж.

3.     Представляют искомую площадькак сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи ичертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейнойтрапеции.

4.     Вычисляют площади каждойкриволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

При вычислении площадикриволинейной трапеции возможны случаи:

1.

 

 

 

2.

 

 

 

3.

 

 

4. 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислениеплощади криволинейной трапеции.

Вычислитьплощади фигур, ограниченных линиями:

1)    Решение:

1.Запишемфункции в виде y = f(x):

2.Построимграфики данных       функций:

 — прямая;

 — прямая;

 — прямая (совпадает с осью Ох).

3.Найдёмточку пересечения прямых, для чего решим систему:

  Отсюда х = 2, y = 3.

4.Длявычисления искомой площади разобьем её на две площади S₁ и S₂    и вычислим их:

Ответ:S = 13,5 кв. ед.

2)   

     Решение:

1.Запишемфункции в виде y = f(x):

2.Построимграфики данных       функций:

 — парабола (ветви направлены вниз);

 — прямая, параллельная оси Oy

 — прямая (совпадает с осью Ох).

3.Найдёмточки пересечения параболы с осью Ох, для чего решим систему:.  Отсюда х = 0, y = 4.

4.Длявычисления искомой площади разобьем её на две площади S₁ и S₂    и вычислим их:

Ответ:S = 13 кв. ед.

3)    .

     Решение:

1.Запишемфункции в виде y = f(x):

2.Построимграфики данных       функций:

 — парабола (ветви направлены вниз);  — прямая.

3.Найдёмточки пересечения прямой и параболы, для чего решим систему:.  Отсюда х = -2, y = 1.

4.Искомаяплощадь заключена между графиками данных функций. Воспользуемся формулой,рассмотренной выше в случае №4:

Ответ:S = 4,5 кв. ед.

 

 

Дополнительныезадания.

Вычислить площадифигур, ограниченных линиями:

 

(1) Ответ:S = 12 кв.ед.

(2) Ответ:S = 5 кв.ед.

(3) Ответ:S = кв.ед.

(4) Ответ:S = кв.ед.

(5) Ответ:S = 9кв.ед.