Министерство образования и молодежной политики Свердловскойобласти
Департамент образования Администрации города Екатеринбурга
Муниципальное образование «город Екатеринбург»
Орджоникидзевский район
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 27
Направление: естественнонаучное
Предметная область: математика
Проект
Разные способы умножения
Автор проекта: Шайнурова Диана 5 Е класс
Научныйруководитель проекта
Тофанило Елена Александровна,
Екатеринбург,2023
Оглавление
Глава 1. Историяпоявления таблицы умножения. 5
1.1. Первые ступени вычисления. 6
1.1.4. Таблицаумножения на пальцах. 8
1.2.4. Умножениеметодом Ферроля. 10
1.2.5. Русскийспособ умножения. 11
1.2.6. Китайскийспособ умножения. 12
1.2.7. Итальянскийспособ умножения («Сеткой») 12
1.2.8. Индийскийспособ умножения. 13
1.2.9.Японский способ умножения. 13
1.2.10. Новейшийспособ умножения. 13
Глава 2.Анкетирование и выбор способа умножения среди учащихся МБОУ СОШ № 27. 15
Приложение №2.Таблица умножения на пальцах. 21
Во всевремена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потомучто математические знания необходимы всем людям. Математика развиваетспособность к логическому мышлению, что позволяет человеку жить интересно иникогда не скучать. Эта прекрасная наука развивает умение мыслить нестандартно,находить выход из любых ситуаций.
В наш век высоких технологий иповсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить вуме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своейактуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность,например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.
Такие навыки помогут человеку вучёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Проанализировав многоинформации, мы открыли для себя очень интересные исторические данные онеобычных способах быстрого счёта, способов умножения. Приложив немного усилий,мы теперь сможем и сами вести быстрый счёт и поделиться этими познаниями содноклассниками и со знакомыми.
Актуальность работы: несмотряна то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилиюдоступных электронных счетных устройств, навык быстрых и удобных вычислений непотерял своей актуальности для человека. Поэтому в своей работе мы хотимпоказать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнениядействий может быть не только полезным, но и интересным занятием.
Цель: изучитьприемы быстрого счета, показать на практике и на теории, как интересно и удобноможно делать действия с числами.
Задачи проекта:
· познакомится с историейсоздания счёта;
· изучить различные способы умножения;
· научиться умножать числалегко, быстро и удобно;
· донести найденную информациюдо наших сверстников;
· составить буклет по выполнениюумножения нестандартными способами.
Объектом нашего исследования являются приемы быстрого счета,математическое действие – умножение.
Гипотеза исследования:показать, что применение нестандартных приемов в формировании вычислительныхнавыков повышает вычислительную культуру учащихся, усиливает интерес учащихся кматематике и содействует развитию математических способностей.
Методыисследования: сбор материала по теме, егоанализ и обработка, оформление работы, создание презентации.
Выходпроектного продукта: буклет повыполнению умножения нестандартными способами.
Практическая значимостьработы: «Гибкость ума может заменить красоту». (Стендаль) Материал даннойработы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятияхшкольного математического кружка в качестве дополнительного материала с цельюпоявления заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания кизучению математики у учеников, а также для расширения их кругозора.
Глава 1. Историяпоявления таблицы умножения.
При раскопках здания в городе Нара,древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка сфрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии,найденная – самая древняя.
Каким же образом жители Япониивпервые узнали о математической «запоминалочки»? Судя по тому, что иероглифы,которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она былапросто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда онавзялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали.
Эту версию подтверждает находка,сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, накоторой был фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили в 2700-3000 лет.
На основании этой находки ученыеКитая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения быласоставлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами проникли в Индию, аоттуда в страны Передней Азии и Европу. Однако этой версии противоречат многиенаходки, сделанные ранее. Например, в Индии в свое время были обнаружены болеедревние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200лет.
Самые старые в мире таблицы умножениябыли найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены спомощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет.Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.
Хотя не исключено также и то, чтоданная система устного счета появилась независимо в разных местах. Узнать имягениального математика, который первым додумался записать результаты умноженияв виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу несколькимлюдям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитыйгреческий математик Пифагор.
Те способы вычислений, которыми мыпользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовалисьболее громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века могперенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой ибезошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы имонастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторонприезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину былидействия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанногопрактикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чутьли не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другогозапутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей.Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый«магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способвыполнения этого действия.
За тысячелетия развития математикибыло придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничалидруг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболееинтересные и простые способы умножения.
1.1. Первыеступени вычисления
Пальцевыйсчёт, счёт на пальцах — математические вычисления, осуществляемые человекомс помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног).Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека сэпохи верхнего палеолита.
Таким образом, пальцы длятого человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшимпособием. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье.Наши предки умели производить при помощи пальцев некоторые действия.
В настоящее времяиспользуется ограниченно, арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке,в европейских странах — в примитивном виде преимущественно детьми или дляотображения цифр жестами, ради убедительности в споре по мере перечисленияаргументов, а также судьёй в боксе при отсчете секунд во время нокдауна.
1.1.1. Китайский счёт
Китайский метод счёта основанна количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можнопосчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могутотличаться.
· 0 — сложенный кулак; 1 — разжатыйуказательный палец;
· 2 — разжаты и растопырены указательный исредний пальцы;
· 3 — разжаты и растопырены указательный,средний и безымянный пальцы;
· 4 — кроме прижатого к ладони большогопальца, остальные разжаты;
· 5 — открытая ладонь и т.д.
Древнекитайская позиционнаядесятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной изсуществующих подобных.
1.1.2. Японский счёт
В Японии счёт начинается соткрытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец являетсячислом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затемсовершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.
Возврат к открытой ладониозначает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.
1.1.3. Русский счёт
Русский счёт на пальцах додесяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся дозагнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показатьколичество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец,затем средний, безымянный, мизинец и большой.
1.1.4. Таблица умножения на пальцах
А). При помощи пальцев можно умножатьчисла от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательныйпри устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом,ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столькопальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, насколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.
2 пальца на одной руке да 3пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим тремдесяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутыхпальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженноена 8 равняется 56.
Б)Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10
— легче выветривается изпамяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно длячисла 9 умножение легко воспроизводится на пальцах. Растопырьтепальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойтепальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки изаканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Допустим, хотим умножить 9 на6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножатьдевятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцевслева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе,количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев незагнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детальнопоказан весь принцип вычисления.
Еще пример: нужно вычислить9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве счетной машинки необязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек втетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
1.2. Умножение
Математики тоже бывают сбогатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всехучат в школе, они придумывают более необычные способы математическихвычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то –сложными и неприемлемыми.
Способов умножения и делениямного, Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения,причем это ещё не все. А мы просто предлагаем вашему вниманию некоторые из них.
1.2.1. Умножение на 11
А) Чтобы умножить на 11число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинутьцифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.
32х11= 3(3+2)2 = 352;
35х11= 3(3+5)5 = 385;
Б) Чтобы умножить на 11число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифрыэтого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифреприбавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
78х11= 7(7+8)8 = 7(15)8 =858; 94х11= 9(9+4)4 = 9(13)4 =1034;
1.2.2. Умножение на 12
Чтобы умножить на 12 число,надо:
1. последнюю цифру множимого удваиваем изаписываем как самую правую цифру результата;
2. каждую следующую цифру множимого удваиваеми складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответсодержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);
3. первую цифру множимого ставим самой левойцифрой результата.
124 х 12 =1 4 8 8;
4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х2 + 2 = 4
1.2.3. Правила умножения
а) Умножение двузначного числа на 101. Чтобыумножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.
36 х 101 = 3636.
б)Умножение двузначного числас суммой цифр, меньшей 10, на 111.
Находим сумму цифр данногодвузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем междуними сумму цифр данного двузначного числа.
42 х 111 = 4662
Чтобы умножить число на 5,25, 125,достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.
Например:
1246 х 5 = 6230, так как 1246: 2 = 623;
6428 х 25 = 160700, так как6428 : 4 = 1607;
8032 х 125 = 1004000, так как8032 : 8 = 1004.
1.2.4. Умножение методомФерроля.
Для умножения единицпроизведения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножаютдесятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, дляполучения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устнодвухзначные числа от 10 до 20.
Например:
12х14=168
а)2х4=8, пишем 8
б)1х4+2х1=6, пишем 6
в)1х1=1, пишем 1
Простое умножение чиселблизких к 100.
Например, нам надоперемножить числа 96 и 97.
Не надо бросаться закалькулятором или начинать считать столбиком. Мы найдем вспомогательные числа.Их находим вычитанием доступного нам числа от 100. В нашем случае получается,что вспомогательные числа это 4 и 3.
Дальше можем забыть о данныхна числах. Теперь найдем цифры стоящие в начале необходимого на числа: мыскладываем 4 и 3, а затем получившееся число отнимаем от 100. Получается:4+3=7, 100-7=93. Значит в начале нашего числа стоит цифра 93.
Затем найдем последние цифрынеобходимого нам числа: мы просто перемножаем 4 и 3. Получается 12 — этопоследние цифры нашего числа. У нас получилось число 9312. Значит 96*97=9312.
1.2.5. Русский способ умножения
Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследованими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чиселсводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременномудвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.
Делениепополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этомпараллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомыйрезультат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан:произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвоеже увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этойоперации получается искомое произведение.
Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:
5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числапополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получитьпроизведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантенодновременно.
1.2.6. Китайский способ умножения
А теперьпредставим метод умножения, который называют китайским. При умножении чиселсчитаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифркаждого разряда обоих множителей.
Предлагаем Вашему вниманию пример (в правом верхнем углупроверочный столбик).
Например: 12 × 321 = 3852
В первом множителе 1 десяток и 2 единицы, значит, строим однузелёную прямую (1) и ей параллельно две оранжевые прямые (2).
Во втором множителе 3 сотни, 2 десятка и 1 единица. Строимпараллельно три голубые (3) прямые, две красные (2) и поодаль одну синею.Прямые, пересекающие прямые первого множителя.
Теперь по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек начасти разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (почасовой стрелке): 2, 5, 8, 3. Число-результат будем «собирать» слеванаправо (против часовой стрелки), получили 3852.
1.2.7. Итальянский способ умножения («Сеткой»)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрелбольшую известность.
Например: умножим 1234 на 576.
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел надколонками, а второе по высоте.
2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждойколонки.
Т.е. 4х5 = 20. Записываем 2 и 0.
1х5*3 = 6. Если при умножении получается однозначное число,записываем
вверху 0, а внизу это число.
3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональнымполосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержитдесятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
1.2.8. Индийский способ умножения
Для умножения, например, 385 на 64 напишем одно число как множимоеи под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использоватьсетку как образец.
Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого.Полученные произведения пишем в сетку.
Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем жеправилам.
1.2.9. Японский способ умножения
Японский способ умножения – это графический способ с использованиемкругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то нанего похож.
Например: умножим 12 на 34. Так каквторой множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим дваодиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так каквторая цифра первого множителя равна 2.
Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим кругипервого столбца на три части, второго столбца на четыре.
Количество частей, на которые разделились круги и являетсяответом, то есть 12 х 34 = 408.
1.2.10. Новейший способумножения
Интересен новый способ умножения, окотором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счётаВасилий Оконешников составил таблицу, где все данные просто располагают вдевяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице оченьпросто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующейпятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице,пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере — ноль)оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку сдвойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифратакже без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифрполучается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется кпредыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Глава 2. Анкетирование и выбор способаумножения среди учащихся МБОУ СОШ № 27
Мы решили провести опрос среди обучающихся5-х классов и 10 класса для этого разработали анкету, состоящую их 4 – хвопросов с вариантами ответов да или нет:
1.Необходимо ли современному человекуустный счёт?
Да Нет
2.Знаете ли вы другие способы умножения кроме умножения в столбик?
Да Нет
3.Пользуетесьли вы ими?
Да Нет
4.Хотелибы вы узнать другие способы умножения?
Да Нет
Поитогам анкетирования получили следующие результаты:
Поитогам анкетирования мы видим, что большинство детей считают необходимостьумения устного счета в современной действительности. Знают другие способыумножения кроме умножения в столбик 66.67 % (44 чел.) от опрощенных детей, нотолько 34,33 % (23 чел.) пользуются данными знаниями. Большинству детейинтересно было узнать о новых способах умножения.
Обучающимсябыли представлены различные способы умножения. Детям было предложено выбратьнаиболее понравившийся способ и способ умножения, который они считают наиболеесложным. По итогам анкетирования получены следующие результаты:
Мывидим, что больше всех понравился русский, японский, китайский. Вместе с тем,сложен в использовании посчитали японский, итальянский, китайский.
В10 классе
В10 классе больше понравились итальянский, китайский, новейший Сложными виспользовании итальянский, русский, китайский.
Вывод.
Научившисьсчитать всеми представленными способами, мы пришли к выводу: что самые простыеспособы это те, которые мы изучаем в школе, а может быть, мы просто к нимпривыкли.
Извсех рассмотренных необычных способов счета более интересным показался способграфического умножения.
Самымпростым показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русскиекрестьяне и новейший.
Поработавс литературой и материалами в интернете, мы поняли, что нами рассмотрено оченьмаленькое количество способов умножения, а это значит, что впереди нас ждетмного интересного.
Заключение
Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, анаучно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ейможно следовать, ею можно овладеть.
Описывая старинные способы вычислений и современные приёмыбыстрого счёта, мы попытались показать, что, как в прошлом, так и в будущем,без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись
Изучение старинных способов умножения показало, что этоарифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и ихгромоздкости выполнения
Современный способ умножения прост и доступен всем.
Но, думаем, что и наш способ умножения в столбик не являетсясовершенным и можно придумать ещё более быстрые и более надёжные способы
Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу,выполнять эти или другие подсчёты. Не беда. Нужна постоянная вычислительнаятренировка. Она поможет приобрести полезные навыки устного счёта!
Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можноразвить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьныхпредметов. Все рассмотренные нами методы вычислений говорят о многолетнеминтересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Гипотеза подтвердилась: возрос интерес учащихся к математике,следовательно, они смогут использовать свои знания и умения в практической иповседневной жизни.
Таким образом, пока мы только изучали и анализировали ужеизвестные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможемоткрыть новые способы умножения.
Литературные источники
1. Гарднер М. Математическиечудеса и тайны. — М., 1978.
2. Глейзер Г.И. Историяматематики в школе. — М.,1981.
3. Депман И. «Рассказы оматематике».– Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
4. Олехник С. Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главнаяредакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
5. Перельман Я.И. Быстрый счет.Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
6. Савин А.П. Математическиеминиатюры. Занимательная математика для детей. — М.: Детская литература, 1998,175 с.
Приложение №1. Виды счета
Китайскийсчет
Приложение №2. Таблица умножения на пальцах
Умножение на 9 с помощью пальцев
Умножение русским способом
Умножение китайским способом
Новыйспособ умножения
