Геометрия10 класс задания и решения
1. Из кубавырезали многогранник KLMNOB, показанный на рисунке.
а) [2 балла] На какое количествочастей распадётся этот куб? б) [1 балл] Выпишите названия вершин двух из этихчастей. Вырезанный многогранник при подсчёте частей не учитывается!
2. [за каждый правильный ответ — 1 балл, за неправильный —снимается1 балл] Про каждое из следующих утверждений определите, верно оно или нет: а)Любое сечение куба является многоугольником, у которого будет хотя бы четырестороны. б) Если две прямые в пространстве не пересекаются, то они параллельны.в) Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они либопараллельны между собой, либо совпадают. г) Через две пересекающиеся прямые впространстве можно провести ровно одну плоскость.
3. В каждой из фигур опишите алгоритм соответствующегопостроения. а)[2 балла] В треугольной призме постройте точку пересечения прямой СE сплоскостью (A1BC1). б) [3 балла] В четырёхугольной пирамиде постройте точкупересечения ребра SB и плоскости α, проходящей через точку K и параллельнойпрямым AC и BE.
4. В каждой из фигур опишите алгоритм соответствующегопостроения.Запишите в ответе искомое соотношение, не приводя доказательства. а) [2 балла]Постройте сечение куба плоскостью (KLM). В каком отношении она делит ребро AA1?б) [3 балла] Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки K иMипараллельной прямой AD. В каком отношении она делит ребро AB?
5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели высотыAN и BM. Известно, что BN : NC = 3 : 2. а) [2 балла] Найдите отношение, вкотором AN делит высоту BM. б) [3 балла] Найдите периметр треугольника ABC,если его площадь равна 40.
6. В треугольной пирамиде SABC все рёбра в основании ABC равны, авсе остальные рёбра в полтора раза длиннее. На рёбрах AB и SB отмеченысоответственно точки N и K такие, что AN : NB = 2 : 1, SK : KB = 1 : 2. а) [2балла] Докажите, что если провести плоскость через точки K и N параллельноребру BC, то в сечении образуется трапеция, у которой одно основание в два разабольше другого. б) [4 балла] Найдите периметр этого сечения, если AB = 6.
