Практическая работа -исследование Замечательные точки треугольника
Вашацель: познакомиться снекоторыми замечательными точками треугольника и исследовать их свойства впрактической работе
Знакомимся с темойисследования
Замечательные точкитреугольника — точки, местоположение которых однозначно определяетсятреугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершинытреугольника. Прочитайте статью в Википедии и выпишите интересные факты
https://ru.wikipedia.org/wiki/Замечательные_точки_треугольника
Смотрим обучающее видео https://www.youtube.com/watch?v=FNxmkbJKL1k
Выполняем задания практической работы. Все построения практической работывыполняйте на чистом листе (без клеток) формата А4, для каждого пункта наотдельном листе.
а) «Свойствобиссектрисы угла»
— Начертитепроизвольный угол. Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису этого угла(линейка – только для проведения прямой, деления не используем!).
— Начертитепроизвольный треугольник, постройте (транспортиром) биссектрисы углов. Убедитесь,что они пересекаются в одной точке.
— Проведитеперпендикуляры к сторонам треугольника из точки пересечения биссектрис иубедитесь, что длины перпендикуляров равны. Запишите их длину.
— Проведитеокружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длинепостроенного перпендикуляра. Чем является точка пересечения биссектрис втреугольнике? Запишите вывод.
б) «Свойствосерединного перпендикуляра к отрезку»
— Начертитьотрезок АВ. Построить с помощью циркуля и линейки серединный перпендикуляр кнему (линейка – только для проведения прямой, деления не используем!).
— Провестиотрезки, соединяющие произвольную точку О перпендикуляра с концами отрезка АВ.Убедиться, что ОА=ОВ.
— Начертитьпроизвольный треугольник АВС. Найти (масштабной линейкой) середины его сторон ипровести серединные перпендикуляры (использовать угольник). Убедиться, что онипересекаются в одной точке (назовем ее точка О).
— Соединитьточку пересечения серединных перпендикуляров О с вершинами треугольника АВС.Измерить длины отрезков ОА, ОВ, ОС. Что вы обнаружили?
— Начертитеокружность с центром в точке О и радиусом ОА. Чем является точка пересечениясерединных перпендикуляров в треугольнике? Сделайте вывод.
в) «Теоремао пересечении высот в треугольнике»
— начертитьтри разных треугольника (остроугольный (обозначьте АВС), тупоугольный,прямоугольный). Для каждого из них провести высоты (использовать угольник) иубедиться, что они пересекаются в одной точке.
— точкапересечения высот в треугольнике – это центр тяжести (ортоцентр). Прочитайте вВикипедии подробнее и запишите интересные факты в тетрадь.
— рассмотритеостроугольный треугольник АВС с высотами АА1, ВВ1, СС1 из вашего построения.Соединив основания высот, получите треугольник А1В1С1. Измерьте транспортиромуглы А1В1В и С1В1В, что обнаружили? Измерьте аналогично углы А1 и С1. Чемявляются высоты треугольника АВС для треугольника А1В1С1? Сделайте вывод.
г) «Медианы втреугольнике»
— начертитепроизвольный треугольник АВС. Проведите медианы АА1, ВВ1, СС1 и убедитесь, чтоони пересекаются в одной точке (обозначим ее О).
— измерьтеотрезки и убедитесь в справедливости равенства:
Запишите словами соответствующий вывод
— точка пересечения медиан – центр масс (инерции,центроид) треугольника – точка, при приложении сил в которую все точкитреугольника будут двигаться прямолинейно. Загляните в Википедию и прочитайтеподробнее. Интересные факты запишите в тетрадь.
д) Точка Торичелли.«Прямая Эйлера»
Строим точку Торичелли иисследуем ее свойства:
1. Начертите произвольный треугольникАВС (если он будет остроугольный – построения будут легче).
2. На каждой из сторон треугольникаАВС постройте равносторонний треугольник во внешнюю сторону, так: АВ – сторонаравностороннего треугольника АВС1, АС – сторона равностороннего треугольникаАСВ1, ВС – сторона равностороннего ВСА1.
3. Соедините СС1, ВВ1, АА1 иубедитесь, что они пересекаются в одной точке внутри треугольника АВС. Обозначьее Т – это и есть точка Торичелли.
4. Измерь углы АТВ, ВТС, СТА. Какиеони между собой? Какова их величина? Запиши соответствующий вывод.
5. Найди сумму расстояний АТ+ВТ+СТ.Это наименьшая сумма расстояний до вершин А,В,С по сравнению с любой другойточкой внутри треугольника. Возьми 2 любые точки внутри треугольника АВС иубедись. Сделай соответствующий вывод.
6. Всегда ли можно построить точкуТоричелли? Какие свойства у второй точки Торичелли? Как по-другому еще называютэти парные точки? Загляни в Википедию и выясни. Запиши вывод в тетрадь
Строим прямую Эйлера
1. Начерти произвольный треугольникАВС (будет проще построение, если треугольник будет остроугольный).
2. Построй центроид М, ортоцентр V, точку пересечения серединныхперпендикуляров S для треугольника АВС.
3. Убедись, что точки М, V, S лежат на одной прямой – она называется прямая Эйлера.
Сделай выводы:
— какие точкиназывают замечательные точки треугольника и почему?
— что собойпредставляет прямая Эйлера?
— с именамикаких ученых ты встретился в процессе исследования? Прочти статьи о них вВикипедии.
