Теорема существования. Если:
1) функция обращается в нуль в некоторой точке .
2) и определены и непрерывны в окрестности точки .
3) ,
то в некоторой достаточно малой окрестности точки существует единственная однозначная непрерывная функция
,
удовлетворяющая уравнению
и такая, что .
Частные производные функций, заданных неявно. Если выполнены все условия приведенной выше теоремы и, кроме того, функция дифференцируема в окрестности точки , то функция дифференцируема в окрестности точки и ее производные и могут быть найдены из уравнений
.
Если функция дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием этих уравнений вычисляются производные высших порядков от функции .
Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:
1) обращаются в нуль в точке .
2) дифференцируемы в окрестности точки .
3) функциональный определитель (якобиан) в точке .
Тогда система уравнений
однозначно определяет в некоторой окрестности точки систему дифференцируемых функций
, ,
удовлетворяющих системе уравнений и начальным условиям
, .
Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы
.
Пример 6.1. Найти в точке (1 .1) частные производные функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке:
. Функция равна нулю в точке (1 .1 .2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные
также непрерывны, .
Поэтому функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (1 .1 .2) и ее частные производные можно найти по формулам:
.
Тогда
,
а значение в точке (1 .1 .2):
.
Пример 6.2. Найти производные первого и второго порядков неявных функций в точке , если эти функции заданы системой уравнений
(1)
и удовлетворяют условиям .
Решение. Функции
и
дифференцируемы в окрестности точки . Частные производные
непрерывны в точке . Так как и , а якобиан в точке отличен от нуля, т. е.
,
то система уравнений (1) определяет единственную пару функций , дважды дифференцируемых в окрестности точки .
Продифференцируем систему (1) по переменной :
(2)
Подставив координаты точки в эту систему, получим
Тогда . Еще раз продифференцируем по систему (2):
В точке имеем
Тогда .
6.1. Уравнение определяет как многозначную функцию от . В каких областях эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные ветви.
Найти и для функций, определяемых следующими уравнениями:
6.2. . | 6.3. . |
6.4. Доказать, что для кривой второго порядка
справедливо равенство
.
Для функции найти частные производные первого и второго порядков, если:
6.5. . | 6.6. . |
6.7. Найти при , если
.
Найти и , если:
6.8. . | 6.9. . |
6.10. Найти , если .
6.11. Найти , если .
6.12. Найти и , если .
6.13. Найти и , если , .
6.14. Система уравнений
определяет дифференцируемые функции и такие, что и . Найти и .
6.15. Функция задана уравнением
.
Показать, что
.
Ответы: 6.1. 1) нигде . 2) . 3) . 4) . однозначные ветви: ,
. , где . 6.2. . 6.3.
.
6.5. . . 6.6. .
6.7. . .
6.8. .
.
6.9. .
6.10. .
6.11.
. 6.12. .
6.13. . 6.14. .