Существует эффективный метод логического вывода – метод резолюции. Он основан на том, что выводимость формулы F из множества посылок F 1, F 2, F 3, …, Fn равносильна доказательству теоремы
├─ (F1 Ù F2 Ù F3 Ù… Ù Fn ® F),
формулу которой можно преобразовать так:
├─ (F1 Ù F2 Ù F3 Ù… Ù Fn ® F)
├─ ( Ú F)
├─ .
Следовательно, заключение F истинно тогда и только тогда, когда формула F1 Ù F2 Ù F3 Ù… Ù Fn Ù º0. Это возможно при значении 0 хотя бы одной из подформул Fi или .
Для анализа этой формулы все подформулы Fi и должны быть приведены в конъюнктивную нормальную форму и сформировано множество дизъюнктов, на которые распадаются все подформулы. Два дизъюнкта этого множества, содержащие пропозициональные переменные с противоположными знаками (контрарные переменные) формируют третий дизъюнкт – резольвенту, в которой будут исключены контрарные пропозициональные переменные. Неоднократно применяя это правило к множеству дизъюнктов и резольвент, стремятся получить пустую резольвенту. Наличие пустого дизъюнкта свидетельствует о выполнении условия
|
|
F1 Ù F2 Ù F3 Ù… Ù Fn Ù º0.
Пусть и – дизъюнкты. Дизъюнкт называется резольвентой дизъюнктов D 1 и D 2 по переменной А и обозначается через res A(D 1, D 2). Резольвентой дизъюнктов D 1 и D 2 называется резольвента по некоторой переменной и обозначается через res (D 1, D 2), res (A, )=0. Если дизъюнкты D 1 и D 2 не содержат контрарных переменных, то резольвент у них не существует.
Пример. Если , , то , , не существует.
Утверждение. Если существует, то ├─ .
Пусть – множество дизъюнктов. Последовательность формул называется резолютивным выводом из S, если для каждой формулы (i =1,…, n) выполняется одно из условий:
1) .
2) существуют такие, что .
Теорема (о полноте метода резолюций). Множество дизъюнктов S противоречиво в том и только в том случае, когда существует резолютивный вывод из S, заканчивающийся 0.
Алгоритм вывода по методу резолюций.
Шаг 1. Придать отрицание заключению, т.е. .
Шаг 2. Привести все формулы посылок и отрицания заключения к конъюнктивной нормальной форме.
Шаг 3. Выписать множество дизъюнктов всех посылок и отрицания заключения S = { D 1, D 2, …, Dk }.
Шаг 4. Выполнить анализ пар множества S по правилу:
«если существуют дизъюнкты Di и Dj, один из которых (Di) содержит некоторую переменную, а другой (Dj) – отрицание этой переменной, то сформировать новый дизъюнкт – резольвенту, исключив контрарные переменные».
Шаг 5. Если в результате будет получена пустая резольвента – 0, то останов, в противном случае включить резольвенту в множество дизъюнктов S и перейти к шагу 4.
|
|
Шаг 6. Если нет возможности сформировать новые резольвенты, а пустую резольвенту не получили, то останов – формула не выводима из множества посылок в исчислении высказываний.
Примеры.
1. Работа автоматического устройства, имеющего три клапана А, В и С, удовлетворяет следующим условиям: если не срабатывают клапаны А или В или оба вместе, то срабатывает клапан С . если срабатывают клапаны А или В или оба вместе, то не срабатывает клапан С. Следовательно, если срабатывает клапан С, то не срабатывает клапан А.
1) – посылка .
2) – посылка .
3) – отрицание заключения .
4) множество дизъюнктов: S ={(А Ú C), (B Ú C), , , C, А }.
Построим резолютивный вывод, заканчивающийся 0.
1) .
2) .
Так доказано, что если срабатывает клапан С, то не срабатывает клапан А.
2. Доказать истинность заключения
1) A – посылка .
2) B – посылка .
3) – посылка .
4) – отрицание заключения .
5) множество дизъюнктов: S ={ A, B, (), C } .
6) .
7) S 1={ A, B, (), C, ()} .
8) .
9) S2 ={ A, B, (), C, (), } .
10) – пустая резольвента.
Так доказана истинность заключения по принципу резолюции.
Для иллюстрации вывода удобно использовать граф типа дерево, корнем которого является один из дизъюнктов отрицания заключения, а концевыми вершинами ветвей – оставшиеся дизъюнкты отрицания заключения и всех посылок. Вершинами графа типа дерево являются резольвенты. Ниже дан пример, сопровождаемый графом.
Пример. Доказать истинность заключения
1) – посылка .
2) – посылка .
3) – посылка .
4) – отрицание заключения .
5) S ={ A, C, , , , }
6) .
7) .
8) .
9) .
10) – пустая резольвента.
Так доказана истинность заключения , граф доказательства изображен на рис.1.3.
Замечание. Метод резолюций достаточен для обнаружения возможной выполнимости данного множества – дизъюнктов S. Для этого включим в S все дизъюнкты, получающиеся при резолютивном выводе из S. Из теоремы о полноте метода резолюций вытекает
Следствие. Если множество дизъюнктов S содержит резольвенты всех своих элементов, то S выполнимо тогда и только тогда, когда 0Ï S.
Двойственным к правилу резолюций является правило согласия. Пусть , – конъюнкты. Положим , .
Пусть – множество конъюнктов. Последовательность формул называется выводом из S по правилу согласия, если для каждой формулы (i =1,…, n) выполняется одно из условий:
1) .
2) существуют такие, что .
Теорема. Множество конъюнктов общезначимо (т. е. выполняется) тогда и только тогда, когда существует вывод из S по правилу согласия, заканчивающийся символом 1.