Бинарным отношением на множестве А называется подмножество его квадрата RÍ A2. Бинарным отношением между множествами А и В называются подмножество принадлежащее декартовому произведению 2-х множеств: RÍ АхВ.
Если упорядоченная пара (а1, а2) принадлежит отношению R, то говорят что а1 R а2, то есть между элементом а1 и а2 уст-но отношение R.
Областью определения бинарного отношения называется множество элементов а, в котором в принадлежит бинарному отношению: þR={a|bÎ aRb}.
Областью значения бинарного отношения называют множество b, в котором а принадлежит бинарному значению:
PR={b|aÎ aRb }.
Обратное отношение для отношения R называется отношение: R-1={(b,a)|(a,b) Î R }.
Отношение можно задать:
— с помощью любого способа задания множеств
— С помощью матрицы бинарного отношения. Матрица бинарного отношения это квадратная матрица R элементы которой определяются следующим образом rij=1, (ai,aj)Î R, 0 – в противном случае.
— С использованием графа. Каждому бинарному отношению можно подставить в соответствие граф G(X,U), содержащий множество вершин Х, и множество ребер U. При этом вершины aj ai соединяются дугой если упорядоченная пара aj ai Î R. Так как отношения являются множеством упорядоченных пар, то для отношения можно определить те же операции, что и для множеств (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность).
Свойство бинарных отношений:
1 ) Рефлексивность. Пусть на множестве А задано бинарное отношение R. Бинарное отношение называется рефлексивным, если для любого элемента А упорядоченная пара из этого элемента принадлежит R: для любого A(a,a) Î R. Т.е. бинарное отношение 
на множестве 
называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении 
с самим собой.
Матрица рефлексивного отношения на диагонали содержит 1, а граф бинарного отношения имеет петли.
2) Антирефлексивность. Бинарные отношения являются антирефлексивными, если: для любого A(a,a) Ï R.
Матрица антирефлексивного отношения на диагонали содержит 0, а граф не имеет петель.
3) Симметричность. Бинарное отношение 
на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества 
выполнение отношения 
влечёт выполнение отношения 
. Отношение 
симметрично, если 
.
Матрица симметричного бинарного отношения симметрична относительно главной диагонали. В графе все пары вершин соединены 2-мя противоположно направленными дугами.
4) Антисимметричночть. В математике бинарное отношение 
на множестве X называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества 
выполнение отношений 
и 
влечёт 
, или, что то же самое, выполнение отношений 
и 
возможно только для равных 
и 
.
Матрица антисимметричного бинарного отношения не симметрична относительно главной диагонали, в графе отсутствуют противоположно направленные дуги.
5) Транзитивность. Бинарное отношение называют транзитивным, если: 
В графе задающего транзитивное бинарное отношение для каждой пары дуг таких, что конец первой совпадает с началом второй, существует дуга, соединяющая начало первой дуги с концом второй.
Специальные бинарные отношения:
1) Отношение Эквивалентности на множестве А это отношение, обладающее свойством рефлекисвности, симметричности и транзитивности. (Отношение равенства, отношение параллельности).
2) Отношения строгого порядка: это бинарное отношение на множестве А, обладающее свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
3) Отношения нестрого порядка- бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности. Антисимметричности и транзитивности.
