Преобразование графиков элементарных функций.

 

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция представляет собой квадратичную параболу , сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.

 

С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида , где — коэффициенты сжатия (при ) или растяжения (при ) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами и указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

· Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты и отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox, если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

· Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox) и (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

· Третий вид — параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.

Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.

Теперь обо всем по порядку.

 

Начнем с геометрических преобразований графика степенной функции.

Пример.

С помощью преобразования графика функции построить .

Решение.

Функция представляется в следующем виде:
.

Имеем , причем перед этим коэффициентом знак «минус», а=-1/2, b=3. Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.

исходная степенная функция

растягиваем вдоль оси oy вдвое

отображаем симметрично относительно оси ox

сдвигаем вправо на 1/2

сдвигаем вверх на 3 единицы

Рассмотрим пример геометрических преобразований графика показательной функции.

Пример.

Построить график показательной функции .

Решение.

По свойствам степени преобразуем функцию:

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции :

исходная показательная функция

сжимаем вдоль оси oy вдвое

растягиваем вдвое вдоль оси ox

отображаем симметрично относительно оси ox

отображаем симметрично относительно оси oy

сдвигаем вверх на 8 единиц

Сейчас проведем геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x).

Пример.

Построить преобразованием графика функции

Решение.

Используем свойства логарифма:

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:

график исходной функции натуральный логарифм

сжимаем вдоль оси oy втрое

растягиваем вдвое вдоль оси ox

отображаем симметрично относительно оси oy

сдвигаем вверх на 2 единицы

Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований . Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте период становится равным . То есть, при растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.

Геометрические преобразования синусоиды y=sinx.

Пример.

С помощью преобразования графика функции y=sinx построить

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем , причем перед коэффициентом стоит знак «минус», перед минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:

Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.

График исходной синусоиды y=sin(x). Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .

Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinx завершается.

Давайте рассмотрим геометрические преобразования тригонометрической функции y=cosx.

Пример.

Построить график функции преобразованием косинусоиды y=cosx.

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем , причем перед коэффициентом стоит знак «минус», перед минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:

Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=cos(x). Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .

Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.

Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosx завершается.

Преобразование тригонометрической функции y=tgx.

Пример.

С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона :

Имеем , причем перед коэффициентами и стоит знак «минус».

Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:

Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=tg(x). Наименьший положительный период равен . Область определения .

Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения остается прежней .

Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен . Область определения изменяется на .

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.

Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy, то получим исходную функцию.

Сдвигаем график вправо на (примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения изменяется на .

Сдвигаем график вверх на (примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgx завершается.

Геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx.

Пример.

Построить график функции преобразованием графика y=arccosx.

Решение.

Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций

Следовательно,

Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:

Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=arccos(x).

Отображаем симметрично относительно оси ox.

Сдвигаем вверх на .

Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу.

Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.

Имеем , причем перед коэффициентами и знака минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:

Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.

График функции y=arcsinx. Область определения . Область значений .

Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется . Область значений становится .

Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до . Область значений не меняется .

Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в . Область значений не меняется .

Этим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.

Для построения графиков элементарных функций более сложного вида рекомендуем проводить полное исследование функции.