Принимая во внимание полученные ранее формулы Маклорена для функций 
можем записать ряды для этих функций и найти их области сходимости.
1. Функция 
. Ряд Маклорена имеет вид
.
Найдем радиус сходимости ряда
.
Область сходимости ряда 
.
2. Функция 
. Ряд Маклорена имеет вид
,
где 
— остаточный член, записанный в данном случае в форме Пеано. Запись 
означает, что функция 
является бесконечно малой по сравнению с функцией 
.
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Область сходимости ряда 
.
3. Функция 
. Ряд Маклорена имеет вид
,
где 
— остаточный член. Здесь нумерация членов ряда начинается с n = 0.
Радиус сходимости
.
Область сходимости ряда 
.
Пример 9.5. Разложить в ряд по степеням х функцию 
.
Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, запишем
.
Пример 9.6. Будем считать справедливым разложение функции 
в ряд Маклорена при мнимом показателе 
, т. е.
.
Здесь 
— мнимая единица. Так как 
и т. д., то
.
Сгруппируем действительные и мнимые члены этого ряда, получим
.
Отсюда получаем известную формулу Эйлера
|
|
|
.
4. Получим разложение по степеням х для функции 
.
Данная функция удовлетворяет уравнению 
,
т. е. 
или
.
Будем искать разложение функции 
по степеням х в виде
.
Продифференцируем почленно этот ряд
и подставим 
и 
в уравнение 
, получим
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого уравнения . при этом учтем, что при 
,
т. е. 
.
При 
: 
.
При 
: 
.
При 
:
.
Далее, приравнивая коэффициенты при 
, можно получить 
. Тогда при 
:
.
Таким образом, получаем разложение функции 
.
.
Найдем радиус сходимости этого ряда
.
Интервал сходимости ряда 
.
На основании теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости любой степенной ряд в интервале сходимости является равномерно сходящимся. Поэтому ряд составленный из интегралов членов такого ряда сходится к интегралу от суммы этого ряда. Используем это свойство для получения разложений в степенной ряд функций:
и 
.
5. Для функции 
можно записать 
.
При 
выражение 
можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии
.
Так как при 
этот ряд (прогрессия) сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать. Находим
.
Следовательно,
.
Найдем радиус сходимости этого ряда.
.
Интервал сходимости ряда 
.
6. Для функции 
справедливо равенство 
.
При 
функцию 
можно представить как сумму убывающей геометрической прогрессии 
, которая сходится равномерно.
Интегрируя почленно, получим
.
Следовательно,
.
Радиус сходимости ряда
.
Интервал сходимости ряда 
.
7. Для функции 
справедливо равенство
.
Запишем разложение биномиального ряда
.
Данный ряд сходится равномерно при 
.
|
|
|
Интегрируем ряд почленно, получим
Следовательно,
.
Интервал сходимости ряда 
.
