Число 
называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы 
порядка 
, если можно подобрать такой 
–мерный ненулевой вектор 
, что 
.
Для того, чтобы найти собственные значения матрицы 
, рассмотрим матрицу:
Если раскрыть определитель матрицы 
, то получится многочлен 
–й степени:
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы 
. Его коэффициенты 
зависят от элементов матрицы 
. Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.
Следует отметить, что 
, 
. Уравнение 
называется характеристическим уравнением матрицы 
.
Теорема. Множество 
всех собственных значений матрицы 
совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения 
матрицы 
.
Доказательство:
, 
– ненулевой набор чисел, 
– вырожденная матрица 
– решение уравнения:
.
Собственным вектором квадратной матрицы 
порядка 
, принадлежащим ее собственному значению 
называется 
-мерный вектор 
, для которого 
.
Множество всех собственных векторов матрицы 
, принадлежащих ее собственному значению 
, обозначим через 
. Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
|
|
|
Теорема. Множество 
всех собственных векторов матрицы 
порядка 
, принадлежащих ее собственному значению 
, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений 
, где 
.
Доказательство:
В развернутом виде равенство 
записывается как система уравнений:
Если зафиксировано число 
, то задача нахождения собственного вектора матрицы 
сводится к поиску ненулевого решения системы 
линейных однородных уравнений с 
неизвестными 
, которые являются координатами вектора 
. Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:
,
т.е. число 
является собственным числом матрицы 
.
Знание всех собственных векторов матрицы 
позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.
Теорема. Предположим, что квадратная матрица 
-го порядка имеет 
линейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы 
, то матрица 
будет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы 
, т.е.:
Теорема. Если 
и 
– два различных собственных значения симметрической матрицы 
, то соответствующие им собственные векторы 
и 
удовлетворяют соотношению 
, т.е. они ортогональны.
Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы 
станет ортонормированной, а матрица 
, столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.
|
|
|
Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.
Теорема. Матрица 
является ортогональной тогда и только тогда, когда 
.
В соответствии с этой теоремой 
, и преобразование 
эквивалентно преобразованию 
При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена. Подробный анализ понятия многочлена приводится в следующем разделе.
Контрольные вопросы к лекции №10
1. Переход к новому базису и понятие матрицы перехода.
2. Понятие линейного оператора.
3. Собственные значения и собственные вектора матрицы.
4. Операция диагонализации матрицы и понятие ортогональной матрицы.
