Решить уравнение с параметрами означает следующее:
а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при различных значениях параметров .
б) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Пример. Решить уравнение:
.
Решение. Данное уравнение имеет один параметр 
. Если 
, то уравнение 
имеет один корень 
. При 
уравнение является квадратным и, исследуя дискриминант 
, получаем, что уравнение не имеет действительных корней, когда 
, т.е. 
. При 
получаем, что для 
и 
уравнение имеет одно решение, а при 
— два решения.
Поэтому ответ записывается так:
При  |
  |
При  |
 |
При  |
 |
При  |
 |
При  |
Действительных корней нет. |
Пример. При каких значениях параметра 
уравнение:
имеет ровно три корня.
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители. Получим уравнение:
или 
.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
Получим ровно три корня:
и 
,
но при условии, что подкоренное выражение положительно: 
. Решив это неравенство, получаем, что при 
уравнение имеет ровно три корня.
Пример. Для каждого значения параметра 
определить число решений уравнения: 
и найти их.
Решение. Заметим, что при 
уравнение решения не имеет.
Если 
, то уравнение 
имеет два корня 
и 
.
Рассмотрим случай 
. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Решая их, получим 
и 
. Если дискриминанты 
и 
этих уравнений равны нулю, т.е. при 
, каждое уравнение имеет по одному корню 
.
Если дискриминанты положительны:
Окончательно получим, что при 
уравнение имеет четыре корня.
