X-PDF

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Поделиться статьей

Предел функции при , где — число, равен бесконечности, если для любого числа существует такое число , что неравенство: выполняется при всех , удовлетворяющих условию: .

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие на то получим:

а если заменить на то

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 
 

a x a x a x

Функция называется бесконечно большой при , где – число или одна из величин , или , если , где – число или одна из величин , или .

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 9. Если при (или ) и не обращается в ноль, то

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть – бесконечно малые функции при . Будем обозначать эти функции соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция стремится к нулю быстрее, чем функция

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , то называются бесконечно малыми одного порядка.

Если то функции называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают ~ .

Пример 19. Сравним бесконечно малые при функции и

т.е. функция – бесконечно малая более высокого порядка, чем

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример 20. Если , то при , т.е. функция — бесконечно малая порядка 2 относительно функции .

Пример 21. Если , то при не существует, т.е. функция не сравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) ~ ,

2) если ~ и ~ , то ~ ,

3) если ~ , то ~ ,

4) если ~ и ~ и , то и или .

Следствие: а) если ~ и , то и

б) если ~ и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может существенно упростить вычисление пределов.

Пример 22. Найти предел

Так как ~ и ~ при , то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример 23. Найти предел .

Так как при , то .

Пример 24. Найти предел

Если — бесконечно малые при , причем — бесконечно малая более высокого порядка, чем , то — бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .

Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

Тогда говорят, что главная часть бесконечно малой функции .

Пример 25. Функция – бесконечно малая при , – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем , , тогда .

1.4. Односторонние пределы. Асимптоты.

Если при только при , то — называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

у

f(x)

А2

А1

0 a x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы и называются также односторонними пределами функции в точке . Также говорят, что конечный предел функции .

Односторонние бесконечные пределы и пределы на бесконечности применяются при нахождении асимптот графиков функций.

Будем различать вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, если справедливо одно из четырех равенств:

(1)

При построении графиков функций полезно представлять, как изображаются данные пределы. Из существования пределов (1) следует, что при график функции приближается к вертикальной прямой . Схематично изобразим все четыре предела.

Пример 26. Прямая является вертикальной асимптотой, так как . Заметим, что .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если определена на множестве , где , и

(2), где

Геометрически это определение означает, что при и (или или ) график функции приближается к прямой .

Теорема 1. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда существуют два предела: (3) . (4)

Доказательство.

( Необходимость).

Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при Разделим (2) на :

Следовательно,

(Достаточность).

Пусть выполнены равенства (3), (4). Обозначим Из (4) следует, что

В частном случае при наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 27. Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , поскольку Учитывая (1), схематично построим график функции


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет