X-PDF

Билет 2. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы

Поделиться статьей

Определение. Минором порядка k матрицы A называется определитель матрицы k-го порядка, элементы которой стоят на пересечении выбранных k – строк и k – столбцов, т.е..

Определение. Минор порядка r матрицы A называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют)..

Определение. Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора, т.е.. ранг матрицы A равен r, если в матрице существует ненулевой минор r-го порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют). Обозначается Rg A.

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Доказательство. Пусть Amxn = || aij ||mxn и Rg A = k. Если А ≠ 0, то утверждение верно. Если Rg A = k =n, то утверждение верно. Если 0 &lt . Rg A = k &lt . n, то т.к.. Rgрядок базисного минора, то значит А содержит k базисных столбцов (они линейно независимы). Возьмем произвольные r (r &gt . k) столбцов матрицы А. Составим матрицу В из этих столбцов. Rg B ≤ Rg A = k. По следствию 1 в этом случае столбцы матрицы B линейно зависимы. ч.т.д.

Следствие 3. Для любой матрицы А максимальное число линейно независимых столбцов равняется максимальному числу линейно независимых строк этой же матрицы.

Билет 3. Элементарные преобразования матриц. Инвариантность ранга матрицы при помощи элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы.

Определение. Элементарные преобразования:

Перестановка строк . умножение строки на число, отличное от нуля . прибавление к одной строке другой, умноженное на число . аналогичные преобразования для столбцов матрицы.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.89%
НЕТ
41.11%
Проголосовало: 776

Замечание. элементарные преобразования обратимы А~В

Теорема. Если А~В, то Rg A=Rg B

Доказательство. Пусть Rg A = r А =&gt . ∃Mr≠0, а все Mr+1=0. Рассмотрим произвольный минор в матрице

1) не содержит левую строку, тогда =Mr+1=0

2) не содержит второй строки =Mr+1 + λM’r+1 = 0, Mr+1 –минор из А =&gt . Mr+1 = 0. M’r+1 – минор матрицы А

3) содержит 1 и 2 строку. = M r+1 + λM’r+1 = 0. M’r+1 – совпадают 1 и 2 строки. M r+1= M’r+1 = 0

В все миноры = 0 =&gt . Rg ≤ r = Rg A. Т.к.. элементарные преобразования обратимы, то ~ A =&gt . Rg A ≤ Rg ≤ Rg A =&gt . Rg A = Rg ч.т.д.

Определение. Говорят, что матрица А имеет ступенчатый вид, если: 1) Ниже нулевой строки располагаются нулевые строки. 2) если ai 1 = … = ai k-1 = 0, ai k ≠ 0, то ai k = 1 ó ∀ s &gt . i и ∀ t ≤ k: as t = 0

ступенчатая матрица. Замечание. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.89%
НЕТ
41.11%
Проголосовало: 776

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет