Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности

x_n = x₁,x₂,…,x_n

n₁ &lt . n₂ &lt . … &lt . n_k &lt ….

x_nk = x_n1,x_n2,…,x_nk

x_nk → a (k → ∞)

Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.

n = αβγ..ω ==&gt . x_n = 0,αβγ..ω

n = 15, 150, 1500

x₁₅ = 0,15

x₁₅₀ = 0,15

x₁₅₀₀ = 0,15

x_nk ϵ [0,1 . 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.

Теорема Вейерштрасса:

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

A ≤ x_n ≤ b ∀ n

[a,b] = p₀

p₁ &lt . p₀

p₀ &gt . p₁ &gt . p₂ &gt . …

Пусть x_n1 ϵ p₁

x_n2 ϵ p₂, n₂ &gt . n₁

x_n3 ϵ p₃, n₃ &gt . n₂

…

x_nk ϵ p_k, n_k &gt . n_k–1

a ≤ x_nk ≤ b_k

a_k → c

b_k → c

==&gt . x_nk → c

Всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Если x_n – неограниченая, то существует подпоследовательность x_nk, имеющая бесконечный предел.

∀ A ∃ K_A: k &gt . K_A ==&gt . y_k &gt . A

(∀ K_A &gt . A x_nk k &gt . K_A x_nk &gt . k &gt . K_A &gt . A)

Доказательство:

Пусть x_n не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность x_n1. Среди элементов x_n1+1, x_n1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:

1. x_n1 &gt . 1.

Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности x_n2.

2. x_n2 &gt . 2, n₂ &gt . n₁.

Тогда на k-ом шаге будет

k. x_nk &gt . k, n_k &gt . n_k-1.

Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.

x_n → +∞.

Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.

Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.

В любой последовательности x_n существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти x_n.

x_n = (-1)ⁿ

x_nk = x_2k = (-1)^2k = 1

x_nk = x_2k+1= (-1)^2k+1 = -1.

Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:

Q = {x_n}, a ϵ R.

a – 1 &lt . x_n1 &lt . a + 1

a – ½ &lt . x_n2 &lt . a + ½

a – 1/3 &lt . x_n3 &lt . a + 1/3

…

a – 1/k &lt . x_nk &lt . a + 1/k

a = inf_m(sup_m≥n x_n) = lim_m→∞ a_m

I. Неравенство x_n ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.

a + ℰ &gt . a, a+ℰ – не нижняя граница для {a_m}.

∃ m₀: a_mo &lt . a + ℰ a_mo = sup_{n&gt .=mo} x_n ≥ x_{n (n&gt .=mo)} ==&gt . ∀ n ≥ m₀ x_n ≤ a_mo &lt . a + ℰ

II. Неравенство x_n &gt . a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.

Пусть n = 1,2,…,N (конечно). Тогда

∀ n &gt . N x_n ≤ a – ℰ

m &gt . N a_m = sup_n≥m x_n ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.

Предельная точка

f D a – предельная точка .

A = lim_x→a f(x)

I. Если {x_n} c D, x_n ≠ a, x_n →_n→∞ a, то lim(x_n) = A, 0 &lt . |x-a| &lt . δ.

II. ∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ.

D f(x), g(x) .

∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ lim_x→af(x) = A, lim_x→ag(x) = B ==&gt . A ≤ B.

{x_n}сD, x_n ≠ a, x_n → a

f(x_n) →_n→∞ A

g(x_n) →_n→∞ B

f(x) &lt . g(x)

lim_x→af(x) ≤ lim_x→ag(x)

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ.

δ = min(δ,δ₀)

x ϵ D, |x-a| &lt . δ ==&gt . |x-a| &lt . δ

|x-a| &lt . δ₀

h(x) = f(x) ==&gt . |h(x) – A| &lt . ℰ

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |h(x) – A| &lt . ℰ.

Доказательство:

| |g(x)| — |B| | ≤ |g(x) – B| &lt . |B|/2

|g(x)| ≥ |B| — |B|/2 = |B|/2 &gt . 0

g(x) ≠ 0

x ϵ D^(a-δ, a+δ)

x ≠ a

f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ){a} = D

{x_n} с D, x_n ≠ a, x_n –_n→∞→ a

lim_x→a f(x_n)/g(x_n) = A/B ­

Критерий Коши для функций:

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x,y ϵ D, 0 &lt . |x-a| &lt . δ, 0 &lt . |y-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – f(y)| &lt . ℰ

{x_n} c D, x_n ≠ a, x_n → a, {y_n} c D, y_n ≠ a, y_n → a,

∃ lim_n→∞ f(x_n) ∃ lim_n→∞ f(y_n)

lim_n→∞ f(x_n) = lim_n→∞ f(y_n)

Доказательство:

z_n: x₁,y₁,x₂,y₁,x₃,y₃,….

z_n c D, z_n ≠ a, z_n → a ==&gt . ∃ lim_n→∞ f(z_n) = A

f(z_2n-1) = f(x_n) ==&gt . lim_n→∞ f(x_n) = lim_n→∞ f(z_2n-1) = A

f(z_2n) = f(y_n) ==&gt . lim_n→∞ f(y_n) = lim_n→∞ f(z_2n) = A

Монотонная функция

f(x) c D монотонно возрастает (не убывает), если

∀ x₁,x₂ ϵ D x₁ &lt .(≤) x₂ ==&gt . f(x₁) &lt .(≤) f(x₂)

D_a⁺ = {x ϵ D: x &gt . a} D_a^– = {x ϵ D: x &lt . a}

правая предельная точка левая предельная точка

всякая предельная точка является либо правой предельной точкой,

либо левой предельной точкой, либо сразу и той, и другой.

f/_Da+ = f_a⁺(x) f/_Da– = f_a^–(x)

lim_x→a+0 f(x) = lim_x→a f_a⁺(x) lim_x→a-0 f(x) = lim_x→a f_a^– (x)

f(x) D, f(x) D,

∀ x f(x) ≤ M &lt . +∞ ∀ x f(x) ≥ M &gt . –∞

a – левая предельная точка a – правая предельная точка

∃ lim_x→a-0 f(x) = sup_Da– f(x) ∃ lim_x→a+0 f(x) = inf_Da+ f(x)

A – ℰ &lt . f(x_ℰ) ≤ f(x) A ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

|f_a^–(x) – A| &lt . ℰ

{x_n} c D, x_n ≠ a, x_n → a

{x_n} c D, x_n → +∞

lim_n→∞ f(x_n) = A

∀ ℰ &gt . 0 ∃ M_ℰ: x ϵ D, x &gt . M ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

{x_n} c D, x_n → –∞

lim_n→∞ f(x_n) = A

∀ ℰ &gt . 0 ∃ M_ℰ: x ϵ D, x &lt . M ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

{x_n} c D, x_n → +∞

lim_n→∞ f(x_n) = +∞

∀ M ∃ δ&gt .0: x ϵ D, x≠a, |x – a|&lt . δ ==&gt . f(x) &gt . M

{x_n} c D, x_n → –∞

lim_n→∞ f(x_n) = –∞

∀ M ∃ δ&gt .0: x ϵ D, x≠a, |x – a|&lt . δ ==&gt . f(x) &lt . M

∀ M D ∩ (M, ∞) or ∀ M ∃ x ϵ D: x &gt . M

состоит из бесконечного числа элементов

f(x), g(x) D, a – предельная точка

∃ lim_x→af(x) = A, lim_x→ag(x) = B

f(x) D, a ϵ D

1. a – изолированная точка множества D ==&gt . f непрерывна в точке a
2. a – предельная точка D ==&gt . f непрерывна в точке a &lt .==&gt . ∃ lim_x→af(x) = f(a)

Функция Дирихле:

1 – x рациональный,

f(x)

0 – x иррациональный.

Определение непрерывности в точке a:

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: xϵD, 0&lt .|x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)-f(a)| &lt . ℰ,

здесь требование x ≠ a излишне:

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: x ϵ D, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)-f(a)| &lt . ℰ

В терминах последовательности:

∀ {x_n} c D, x_n → a ==&gt . f(x_n) → f(a)

Пусть D, f(x), g(x) – непрерывны в точке a ϵ D. Тогда непрерывны в точке a:

1. f(x) ± g(x)
2. f(x) ⋅ g(x)
3. f(x)/g(x) (g(a) ≠ 0)
4. |f(x)|

Любой полином будет непрерывной функцией:

f(x) = x:

x²= x⋅x

x³ = x⋅x²

…

xⁿ= x⋅x^n-1

_k=0Σⁿ a_k⋅x^k = P(x)

P(x)/Q(x)

|sinx| ≤ |x|, |x| ≤ π/2

k ≤ |x|,

|sinx| ≤ k ≤ |x|

lim_x→asinx = sina

0 ≤ |sinx – sina| = |2⋅sin[(x-a)/2]⋅cos[(x+a)/2]| ≤ 2⋅|(x-a)/2|⋅1 = |x-a|

0 ≤ |sinx – sina| ≤ |x-a|

f(x), D g(y), Δ

f[D] c Δ

h(x) = g(x), D

Если f непрерывна в точке a ϵ D g непрерывна в точке b = f(a) ϵ Δ, тогда h(x) непрерывна в точке a.

∀ ℰ&gt .0 ∃ σ&gt .0: y ϵ Δ, |y-b| &lt . σ ==&gt . |g(y)–g(b)| &lt . ℰ

Доказательство:

ℰ&gt .0 ∃ σ&gt .0: y ϵ Δ, |y-b| &lt . σ ==&gt . |g(y)–g(b)| &lt . ℰ

σ&gt .0 ∃ δ: xϵD, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)–f(a)| &lt . σ

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: xϵD, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)–f(a)| &lt . σ ==&gt . |g(f(x))–g(b)| &lt . ℰ

|f(x)–b| |h(x)–h(a)| (т.к. g(b)=g(f(a))=h(a))

f(x), D

g(y), Δ h(x)=g(f(x))

f[D] c Δ

f непрерывна в точке a, g непрерывна в точке b=f(a) ==&gt . h(x) непрерывна в точке a

lim_x→ag(f(x)) = g(lim_x→af(x)). Доказано.

Теорема о пределе суперпозиции

f(x), D

g(y), Δ

f[D] c Δ, a – предельная точка D

∃ lim_x→af(x) = b ϵ Δ, g непрерывна в точке b ==&gt . ∃ lim_x→ag(f(x))=g(b)

limg_x→a(f(x)) = g(b) = g(lim_x→af(x))

f’(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, g непрерывна в точке b

f(x), x ≠ a

f’(x) =

b, x = a

f’(x) на Dv{a}

lim_x→af’(x) = lim_x→af(x) = b = f’(a) ==&gt . f непрерывна в точке a

Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на каком-то множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множества.

f(x) [a,b], f непрерывна на [a,b], f(x) ограничена на [a,b]

∀ x ϵ [a,b] |f(x)| ≤ M, 0 &lt . M &lt . ∞

1. x₁ ϵ [a,b] |f(x₁)| &gt . 1
2. x₂ ϵ [a,b] |f(x₂)| &gt . 2
3. x₃ ϵ [a,b] |f(x₃)| &gt . 3

…

1. x_n ϵ [a,b] |f(x_n)| &gt . n

{x_n} c [a,b] {x_nk}: lim_x→∞x_nk = x₀

a ≤ x_n ≤ b a ≤ x_nk ≤ b ==&gt . a ≤ x₀ ≤ b

lim_x→xof(x) = f(x₀)

lim_k→∞f(x_nk) = f(x₀)

|f(x_nk)| &gt . n_k –_k→∞→ ∞

-∞ &lt . inf_[a,b]f(x) ≤ sup_[a,b]f(x) &lt . +∞, sup_[a,b]f(x) = A

∃ x₀ ϵ [a,b]: f(x₀) = A

A-1 ∃ x₁ ϵ [a,b]: A-1 &lt . f(x₁) ≤ A

A-½ ∃ x₂ ϵ [a,b]: A-½ &lt . f(x₂) ≤ A

…

A-1/n ∃ x_n ϵ [a,b]: A-1/n &lt . f(x_n) ≤ A

∃ {x_nk}: lim_x→∞x_nk = x₀ ϵ [a,b]

f(x₀) = lim_k→∞f(x_nk) = A = sup_[a,b]f(x)

A – 1/n_k &lt . f(x_nk) ≤ A

Теорема Больцано-Коши:

f, [a,b] – непрерывна, f(a) ⋅ f(b) &lt . 0 (разных знаков) ==&gt . ∃ c ϵ (a,b): f(c) = 0

Доказательство:

Пусть f((a+b)/2) ≠ 0.

[a₁,b₁], f(a₁)⋅f(b₁) &lt . 0.

Снова разделим пополам данный промежуток.

[a₂,b₂], f(a₂)⋅f(b₂) &lt . 0.

Снова разделим пополам промежуток. Так, продолжая этот процесс, мы либо найдём точку c, где f(c)=0, либо такую точку не найдём, тогда последовательность

[a_n,b_n], f(a_n)⋅f(b_n) &lt . 0,

[a_n,b_n] c [a_n-1,b_n-1],

b_n-a_n = (b-a)/2ⁿ

стремится к нулю lim_n→∞ (b-a)/2ⁿ = 0.

{c} = ∩^∞_n=1 [a_n,b_n]

x_n – конец промежутка [a_n,b_n], f(x_n) &gt . 0

y_n – другой конец [a_n,b_n], f(x_n) &lt . 0

x_n → c, f(x_n) &gt . 0 lim_n→∞f(x_n) = f(c) ≥ 0

==&gt . ==&gt . f(c) = 0.

y_n → c, f(y_n) &lt . 0 lim_n→∞f(x_n) = f(c) ≤ 0

Вывод из теоремы: если функция принимает на концах интервала [a,b] два значения одного знака, рассмотрим функцию y = ξ: f(a) &lt . ξ &lt . f(b). Тогда ∃ c: f(c) = ξ.

Доказательство:

f(a) &lt . f(b), f(a) &lt . ξ &lt . f(b) ==&gt . ∃ c ϵ (a,b): f(c) = ξ

g(x) = f(x) – ξ, g(a) = f(a) – ξ &lt . 0,

g(b) = f(b) – ξ &gt . 0 .

∃ c: g(c) = 0 ==&gt . ∃ c: f(c) – ξ = 0.

&lt .a,b&gt . – некоторый промежуток, т.е.: (a,b), (a,b], [a,b), [a,b].

Пусть f(x) определена и непрерывна на &lt .a,b&gt .. Тогда образ этого промежутка f[&lt .a,b&gt .] – тоже промежуток (это не означает, что функция непрерывна на этом промежутке, если только она не монотонна).

Доказательство:

Пусть A = inf_{&lt .a,b&gt .} f(x), B = sup_{&lt .a,b&gt .} f(x). Доказать, что (A,B) c f[&lt .a,b&gt .].

Возьмём ξ ϵ (A,B), ∃ c ϵ &lt .a,b&gt .: f(c) = ξ, т.к.:

A &lt . ξ &lt . B ==&gt . ∃ x₁ ϵ &lt .a,b&gt .: f(x₁) &lt . ξ .

∃ x₂ ϵ &lt .a,b&gt .: f(x₂) &gt . ξ .

Пусть x₁ &lt . x₂. Тогда [x₁,x₂] c &lt .a,b&gt ., f(x) непрерывна на [x₁,x₂], f(x₁) &lt . ξ, f(x₂) &gt . ξ, ==&gt .

==&gt . по т. Больцано-Коши ∃ c ϵ (x₁,x₂): f(c) = ξ.

Теорема: f определена на &lt .a,b&gt . и монотонна, если область значений f является промежутком, то f – непрерывна.

Доказательство:

Предположим, это не так. Тогда функция имеет разрыв.

Пусть функция возрастет: x₁ &lt . x₂ ==&gt . f(x₁) ≤ f(x₂), c ϵ (a,b) – точка разрыва. Тогда ∃ f(c-0), f(c+0):

f(c–0) = sup_{a&lt .x&lt .c}f(x) ≤ f(c) x &lt . c ==&gt . f(x) ≤ f(c)

==&gt . ==&gt . f(c-0) ≤ f(c) ≤ f(c+0), т.е. функция в точке c

f(c+0) = inf_{c&lt .x&lt .b}f(x) ≥ f(c) x &gt . c ==&gt . f(x) ≥ f(c) непрерывна, разрыва нет, противоречие.

f(x) = x^h

f^-1(y) = y^1/n =

Предположим, имеется число a &gt . 0, a^r, r ϵ ℚ. Пусть r = ,

1. a^r = (a^1/n)^m = (a^m)^1/n = a^m/n

2. a^r1⋅a^r2 = a^r1+r2

3. a^-r = 1/a^r

4. r₁ &lt . r₂ ==&gt . a^r1 &lt . a^r2, a &gt . 1

5. r₁ &lt . r₂ ==&gt . a^r1 &gt . a^r2, 0 &lt . a &lt . 1

a &gt . 1, a^r /`

^r = ∞ n = [r], a = 1 + λ, λ &gt . 0

n → ∞, a^r = (1 + λ)² &gt . (1 + λ)ⁿ = 1 + n⋅λ + … &gt . 1 + n⋅λ → ∞

^r = ^-r = ^p = 0, p = -r.

0 &lt . a &lt . 1:

1. a^r = 1/(1/a^r) = 1/(1/a)^r → 0

2. 1/a &gt . 1, (1/a)^r → ∞

3. (a^r1)^r2 = a^r1⋅r2

a &gt . 1:

a^1/n – 1 = – 1

= 1 + λ, λ &gt . 0:

a = (ⁿ = (1 + λ)ⁿ = 1 + n⋅λ + … &gt . 1 + n⋅λ ==&gt . a-1 &gt . n⋅λ ==&gt . λ &lt . (a-1)/n ==&gt . – 1 &lt . (a-1)/n

a^1/n – 1 &lt . (a-1)/n

0 &lt . r &lt . 1:

1/(n+1) &lt . r ≤ 1/n

a^r – 1 ≤ a^1/n – 1 &lt . (a-1)/n = (n+1)/n ⋅ (a-1) ⋅ 1/(n+1), (n+1)/n = 1ⁿ+1/n ≤ 2

(a-1)/n &lt . 2⋅(a-1)⋅r

-1 &lt . r &lt . 0:

0 &lt . -r &lt . 1

0 &lt . 1 – a^r = 1 – a^r = 1 – 1/a^-r = (a^-r – 1)/a^-r &lt . a^-r – 1 &lt . 2⋅(a-1)⋅(-r)

0 &lt . 1 – a^r &lt . a^-r – 1 &lt . 2⋅(a-1)⋅(-r)

|r| &lt . 1 ==&gt . |a^r – 1| ≤ 2⋅(a-1)⋅|r|

Неравенство Бернулли

a &gt . 1, a^r/`

c ϵ ℚ

r,p ϵ ℚ, r,p &lt . c

|r — p| &lt . 1,

|a^r — a^p| = a^p⋅|a^r—p — 1| &lt . a^c⋅|a^r—p — 1| ≤ a^c⋅2⋅(a-1)⋅|r-p| = M_c⋅|r-p|, M_c = a^c⋅2⋅(a-1)

ax, x notϵ ℚ, c &gt . x, c ϵ ℚ. r_n ϵ ℚ, r_n → x, r_n &lt . c

∃ lim_n→∞a^rn = a^x

Доказательство:

r_n, r_m

∃ N: |r_n — r_m| &lt . 1 для n,m &gt . N

|a^rn — a^rm| &lt . M_c⋅|r_n — r_m| &lt . M_c⋅(ℰ/M_c) = ℰ ==&gt . критерий Коши доказан, предел существует

r_n → x, p_n → x

0 ≤ |a^rn — a^pn| &lt . M_c⋅|r_n — p_n| → 0

|a^rn -a^x| &lt . M_c⋅|r_n — x| ==&gt . справедливо как для ℚ, так и для иррац.

|a^x — a^y| c &gt . x,y, c ϵ ℚ, r_n ϵ ℚ r_n → x, r_n &lt . c

p_n ϵ ℚ p_n → y, p_n &lt . c

|a^rn — a^pn| &lt . M_c⋅|r_n — p_n|

lim_x→y a^x = a^y

x &lt . y ==&gt . a^x &lt . a^y

a^x = lim_n→∞ a^rn, r_n → x, r_n ϵ ℚ

a^y = lim_n→∞ a^pn, p_n → x, p_n ϵ ℚ

∃ N: n &gt . N ==&gt . r_n &lt . p_n ==&gt . a^rn &lt . a^pn

↓ ↓

a^x ≤ a^y

x &lt . λ &lt . μ &lt . y, λ,μ ϵ ℚ

r_n &gt . λ, p_n &gt . μ,

a^rn &lt . a^λ &lt . a^μ &lt . a^pn

ax ≤ aλ &lt . aμ

ay ≤ aλ &lt . aμ

ax &lt . ay

a^x⋅a^y = a^x+y:

r_n → x, p_n → y

a^rn⋅a^pn = a^rn+pn → a^x⋅a^y = a^x+y

x_n → ∞ a^xn → +∞ lim a^x = +∞

[x_n] → ∞ a^xn ≥ [a^xn] → ∞

lim_x→–∞ a^x= 0

(a^x)^y = a^xy:

x &lt . 0:

0 &lt . b &lt . 1, b = 1/a, a &gt . 1

b^y = (1/a)^y = 1/a^y

x,y, ϵ ℕ:

y = m

(a^x)^m = a^x⋅a^x⋅…⋅a^x = a^x⋅m

y &lt . 0:

–m &gt . 0

(a^x)^m = 1/a^x(–m) = 1/a^-xm = a^xm

y = 1/n:

(a^x)^1/n = ⁿ√a^x

(a^x/n)ⁿ = a^(x/n)⋅n = a^x ==&gt . a^x/n = ⁿ√a^x = (a^x)^1/n

(ax)1/n = ax/n

y = m/n:

(a^x)^m/n = ((a^x)^1/n)^m = (a^x/n)^m = a^(x/n)⋅m = a^x⋅(m/n)

p_n → y, p_n ϵ ℚ:

(a^x)^pn = a^x⋅pn

x⋅pn → x⋅y

(a^x)^pn → (a^x)^y = a^x⋅pn → a^x⋅y

log_ax, x^α

a &gt . 1: 0 &lt . a &lt . 1: a = 1:

a^x

a^x 1 log_ax 1 a^x

1 1

log_a (xy) = log_a x = log_a y:

aα = aβ ==&gt . α = β

a^{loga (xy)} = x⋅y:

a^{loga x + loga y} = a^{loga x} ⋅ a^{loga y} = x⋅y

log_a x = log_b x/log_b a .

log₁x

a = e = lim (1+1/n)ⁿ

e ^x = exp(x)

log _e x = ln x

x^α:

α = m/n:

x^m/n = (x^1/n)^m.

x^α = e ^{α⋅ln x}, x &gt . 0

x^α – непрерывная функция, т.к. e ^y – непрерывная.

(x⋅y)^α = x^α ⋅ y^α:

(x⋅y)^α = e ^{α⋅ln (xy)} = e ^{α⋅ln x} ⋅ e ^{α⋅ln y} = x^α ⋅ y^α

x^α = e ^{α⋅ln x} = a^{α⋅log a x}