X-PDF

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы последовательности

Поделиться статьей

xn = x1,x2,…,xn

n1 &lt . n2 &lt . … &lt . nk &lt ….

xnk = xn1,xn2,…,xnk

xnk → a (k → ∞)

Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.

n = αβγ..ω ==&gt . xn = 0,αβγ..ω

n = 15, 150, 1500

x15 = 0,15

x150 = 0,15

x1500 = 0,15

xnk ϵ [0,1 . 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.

Теорема Вейерштрасса:

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

A ≤ xn ≤ b ∀ n

[a,b] = p0

p1 &lt . p0

p0 &gt . p1 &gt . p2 &gt . …

Пусть xn1 ϵ p1

xn2 ϵ p2, n2 &gt . n1

xn3 ϵ p3, n3 &gt . n2

xnk ϵ pk, nk &gt . nk–1

a ≤ xnk ≤ bk

ak → c

bk → c

==&gt . xnk → c

Всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Если xn – неограниченая, то существует подпоследовательность xnk, имеющая бесконечный предел.

∀ A ∃ KA: k &gt . KA ==&gt . yk &gt . A

(∀ KA &gt . A xnk k &gt . KA xnk &gt . k &gt . KA &gt . A)

Доказательство:

Пусть xn не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность xn1. Среди элементов xn1+1, xn1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:

1. xn1 &gt . 1.

Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности xn2.

2. xn2 &gt . 2, n2 &gt . n1.

Тогда на k-ом шаге будет

k. xnk &gt . k, nk &gt . nk-1.

Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.

xn → +∞.

Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.

Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.

В любой последовательности xn существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти xn.

xn = (-1)n

xnk = x2k = (-1)2k = 1

xnk = x2k+1= (-1)2k+1 = -1.

Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:

Q = {xn}, a ϵ R.

a – 1 &lt . xn1 &lt . a + 1

a – ½ &lt . xn2 &lt . a + ½

a – 1/3 &lt . xn3 &lt . a + 1/3

a – 1/k &lt . xnk &lt . a + 1/k

a = infm(supm≥n xn) = limm→∞ am

I. Неравенство xn ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.

a + ℰ &gt . a, a+ℰ – не нижняя граница для {am}.

∃ m0: amo &lt . a + ℰ amo = supn&gt .=mo xn ≥ xn (n&gt .=mo) ==&gt . ∀ n ≥ m0 xn ≤ amo &lt . a + ℰ

II. Неравенство xn &gt . a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.

Пусть n = 1,2,…,N (конечно). Тогда

∀ n &gt . N xn ≤ a – ℰ

m &gt . N am = supnm xn ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.

Предельная точка

f D a – предельная точка .

A = limxa f(x)

I. Если {xn} c D, xn ≠ a, xnn→∞ a, то lim(xn) = A, 0 &lt . |x-a| &lt . δ.

II. ∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ.

D f(x), g(x) .

∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B ==&gt . A ≤ B.

{xn}сD, xn ≠ a, xn → a

f(xn) →n→∞ A

g(xn) →n→∞ B

f(x) &lt . g(x)

limx→af(x) ≤ limx→ag(x)

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ.

δ = min(δ,δ0)

x ϵ D, |x-a| &lt . δ ==&gt . |x-a| &lt . δ

|x-a| &lt . δ0

h(x) = f(x) ==&gt . |h(x) – A| &lt . ℰ

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| &lt . δ ==&gt . |h(x) – A| &lt . ℰ.

Доказательство:

| |g(x)| — |B| | ≤ |g(x) – B| &lt . |B|/2

|g(x)| ≥ |B| — |B|/2 = |B|/2 &gt . 0

g(x) ≠ 0

x ϵ D^(a-δ, a+δ)

x ≠ a

f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ){a} = D

{xn} с D, xn ≠ a, xnn→∞→ a

limx→a f(xn)/g(xn) = A/B ­

Критерий Коши для функций:

∀ ℰ &gt . 0 ∃ δ &gt . 0: x,y ϵ D, 0 &lt . |x-a| &lt . δ, 0 &lt . |y-a| &lt . δ ==&gt . |f(x) – f(y)| &lt . ℰ

{xn} c D, xn ≠ a, xn → a, {yn} c D, yn ≠ a, yn → a,

∃ limn→∞ f(xn) ∃ limn→∞ f(yn)

limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(yn)

Доказательство:

zn: x1,y1,x2,y1,x3,y3,….

zn c D, zn ≠ a, zn → a ==&gt . ∃ limn→∞ f(zn) = A

f(z2n-1) = f(xn) ==&gt . limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(z2n-1) = A

f(z2n) = f(yn) ==&gt . limn→∞ f(yn) = limn→∞ f(z2n) = A

Монотонная функция

f(x) c D монотонно возрастает (не убывает), если

∀ x1,x2 ϵ D x1 &lt .(≤) x2 ==&gt . f(x1) &lt .(≤) f(x2)

Da+ = {x ϵ D: x &gt . a} Da= {x ϵ D: x &lt . a}

правая предельная точка левая предельная точка

всякая предельная точка является либо правой предельной точкой,

либо левой предельной точкой, либо сразу и той, и другой.

f/Da+ = fa+(x) f/Da– = fa(x)

limx→a+0 f(x) = limx→a fa+(x) limx→a-0 f(x) = limx→a fa(x)

f(x) D, f(x) D,

∀ x f(x) ≤ M &lt . +∞ ∀ x f(x) ≥ M &gt . –∞

a – левая предельная точка a – правая предельная точка

∃ limxa-0 f(x) = supDaf(x) ∃ limxa+0 f(x) = infDa+ f(x)

A – ℰ &lt . f(x) ≤ f(x) A ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

|fa(x) – A| &lt . ℰ

{xn} c D, xn ≠ a, xn → a

{xn} c D, xn → +∞

limn→∞ f(xn) = A

∀ ℰ &gt . 0 ∃ M: x ϵ D, x &gt . M ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

{xn} c D, xn → –∞

limn→∞ f(xn) = A

∀ ℰ &gt . 0 ∃ M: x ϵ D, x &lt . M ==&gt . |f(x) – A| &lt . ℰ

{xn} c D, xn → +∞

limn→∞ f(xn) = +∞

∀ M ∃ δ&gt .0: x ϵ D, x≠a, |x – a|&lt . δ ==&gt . f(x) &gt . M

{xn} c D, xn → –∞

limn→∞ f(xn) = –∞

∀ M ∃ δ&gt .0: x ϵ D, x≠a, |x – a|&lt . δ ==&gt . f(x) &lt . M

∀ M D ∩ (M, ∞) or ∀ M ∃ x ϵ D: x &gt . M

состоит из бесконечного числа элементов

f(x), g(x) D, a – предельная точка

∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B

f(x) D, a ϵ D

  1. a – изолированная точка множества D ==&gt . f непрерывна в точке a
  2. a – предельная точка D ==&gt . f непрерывна в точке a &lt .==&gt . ∃ limxaf(x) = f(a)

Функция Дирихле:

1 – x рациональный,

f(x)

0 – x иррациональный.

Определение непрерывности в точке a:

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: xϵD, 0&lt .|x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)-f(a)| &lt . ℰ,

здесь требование x ≠ a излишне:

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: x ϵ D, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)-f(a)| &lt . ℰ

В терминах последовательности:

∀ {xn} c D, xn → a ==&gt . f(xn) → f(a)

Пусть D, f(x), g(x) – непрерывны в точке a ϵ D. Тогда непрерывны в точке a:

  1. f(x) ± g(x)
  2. f(x) ⋅ g(x)
  3. f(x)/g(x) (g(a) ≠ 0)
  4. |f(x)|

Любой полином будет непрерывной функцией:

f(x) = x:

x2= x⋅x

x3 = x⋅x2

xn= x⋅xn-1

k=0Σn ak⋅xk = P(x)

P(x)/Q(x)

|sinx| ≤ |x|, |x| ≤ π/2

k ≤ |x|,

|sinx| ≤ k ≤ |x|

limxasinx = sina

0 ≤ |sinx – sina| = |2⋅sin[(x-a)/2]⋅cos[(x+a)/2]| ≤ 2⋅|(x-a)/2|⋅1 = |x-a|

0 ≤ |sinx – sina| ≤ |x-a|

f(x), D g(y), Δ

f[D] c Δ

h(x) = g(x), D

Если f непрерывна в точке a ϵ D g непрерывна в точке b = f(a) ϵ Δ, тогда h(x) непрерывна в точке a.

∀ ℰ&gt .0 ∃ σ&gt .0: y ϵ Δ, |y-b| &lt . σ ==&gt . |g(y)–g(b)| &lt . ℰ

Доказательство:

ℰ&gt .0 ∃ σ&gt .0: y ϵ Δ, |y-b| &lt . σ ==&gt . |g(y)–g(b)| &lt . ℰ

σ&gt .0 ∃ δ: xϵD, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)–f(a)| &lt . σ

∀ ℰ&gt .0 ∃ δ&gt .0: xϵD, |x-a|&lt .δ ==&gt . |f(x)–f(a)| &lt . σ ==&gt . |g(f(x))–g(b)| &lt . ℰ

|f(x)–b| |h(x)–h(a)| (т.к. g(b)=g(f(a))=h(a))

f(x), D

g(y), Δ h(x)=g(f(x))

f[D] c Δ

f непрерывна в точке a, g непрерывна в точке b=f(a) ==&gt . h(x) непрерывна в точке a

limx→ag(f(x)) = g(limx→af(x)). Доказано.

Теорема о пределе суперпозиции

f(x), D

g(y), Δ

f[D] c Δ, a – предельная точка D

∃ limxaf(x) = b ϵ Δ, g непрерывна в точке b ==&gt . ∃ limxag(f(x))=g(b)

limgx→a(f(x)) = g(b) = g(limx→af(x))

Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

f’(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, g непрерывна в точке b

f(x), x ≠ a

f’(x) =

b, x = a

f’(x) на Dv{a}

limx→af’(x) = limx→af(x) = b = f’(a) ==&gt . f непрерывна в точке a

Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на каком-то множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множества.

f(x) [a,b], f непрерывна на [a,b], f(x) ограничена на [a,b]

∀ x ϵ [a,b] |f(x)| ≤ M, 0 &lt . M &lt . ∞

  1. x1 ϵ [a,b] |f(x1)| &gt . 1
  2. x2 ϵ [a,b] |f(x2)| &gt . 2
  3. x3 ϵ [a,b] |f(x3)| &gt . 3

  1. xn ϵ [a,b] |f(xn)| &gt . n

{xn} c [a,b] {xnk}: limx→∞xnk = x0

a ≤ xn ≤ b a ≤ xnk ≤ b ==&gt . a ≤ x0 ≤ b

limx→xof(x) = f(x0)

limk→∞f(xnk) = f(x0)

|f(xnk)| &gt . nkk→∞→ ∞

-∞ &lt . inf[a,b]f(x) ≤ sup[a,b]f(x) &lt . +∞, sup[a,b]f(x) = A

∃ x0 ϵ [a,b]: f(x0) = A

A-1 ∃ x1 ϵ [a,b]: A-1 &lt . f(x1) ≤ A

A-½ ∃ x2 ϵ [a,b]: A-½ &lt . f(x2) ≤ A

A-1/n ∃ xn ϵ [a,b]: A-1/n &lt . f(xn) ≤ A

∃ {xnk}: limx→∞xnk = x0 ϵ [a,b]

f(x0) = limk→∞f(xnk) = A = sup[a,b]f(x)

A – 1/nk &lt . f(xnk) ≤ A

Теорема Больцано-Коши:

f, [a,b] – непрерывна, f(a) ⋅ f(b) &lt . 0 (разных знаков) ==&gt . ∃ c ϵ (a,b): f(c) = 0

Доказательство:

Пусть f((a+b)/2) ≠ 0.

[a1,b1], f(a1)⋅f(b1) &lt . 0.

Снова разделим пополам данный промежуток.

[a2,b2], f(a2)⋅f(b2) &lt . 0.

Снова разделим пополам промежуток. Так, продолжая этот процесс, мы либо найдём точку c, где f(c)=0, либо такую точку не найдём, тогда последовательность

[an,bn], f(an)⋅f(bn) &lt . 0,

[an,bn] c [an-1,bn-1],

bn-an = (b-a)/2n

стремится к нулю limn→∞ (b-a)/2n = 0.

{c} = ∩n=1 [an,bn]

xn – конец промежутка [an,bn], f(xn) &gt . 0

yn – другой конец [an,bn], f(xn) &lt . 0

xn → c, f(xn) &gt . 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≥ 0

==&gt . ==&gt . f(c) = 0.

yn → c, f(yn) &lt . 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≤ 0

Вывод из теоремы: если функция принимает на концах интервала [a,b] два значения одного знака, рассмотрим функцию y = ξ: f(a) &lt . ξ &lt . f(b). Тогда ∃ c: f(c) = ξ.

Доказательство:

f(a) &lt . f(b), f(a) &lt . ξ &lt . f(b) ==&gt . ∃ c ϵ (a,b): f(c) = ξ

g(x) = f(x) – ξ, g(a) = f(a) – ξ &lt . 0,

g(b) = f(b) – ξ &gt . 0 .

∃ c: g(c) = 0 ==&gt . ∃ c: f(c) – ξ = 0.

&lt .a,b&gt . – некоторый промежуток, т.е.: (a,b), (a,b], [a,b), [a,b].

Пусть f(x) определена и непрерывна на &lt .a,b&gt .. Тогда образ этого промежутка f[&lt .a,b&gt .] – тоже промежуток (это не означает, что функция непрерывна на этом промежутке, если только она не монотонна).

Доказательство:

Пусть A = inf&lt .a,b&gt . f(x), B = sup&lt .a,b&gt . f(x). Доказать, что (A,B) c f[&lt .a,b&gt .].

Возьмём ξ ϵ (A,B), ∃ c ϵ &lt .a,b&gt .: f(c) = ξ, т.к.:

A &lt . ξ &lt . B ==&gt . ∃ x1 ϵ &lt .a,b&gt .: f(x1) &lt . ξ .

∃ x2 ϵ &lt .a,b&gt .: f(x2) &gt . ξ .

Пусть x1 &lt . x2. Тогда [x1,x2] c &lt .a,b&gt ., f(x) непрерывна на [x1,x2], f(x1) &lt . ξ, f(x2) &gt . ξ, ==&gt .

==&gt . по т. Больцано-Коши ∃ c ϵ (x1,x2): f(c) = ξ.

Теорема: f определена на &lt .a,b&gt . и монотонна, если область значений f является промежутком, то f – непрерывна.

Доказательство:

Предположим, это не так. Тогда функция имеет разрыв.

Пусть функция возрастет: x1 &lt . x2 ==&gt . f(x1) ≤ f(x2), c ϵ (a,b) – точка разрыва. Тогда ∃ f(c-0), f(c+0):

f(c–0) = supa&lt .x&lt .cf(x) ≤ f(c) x &lt . c ==&gt . f(x) ≤ f(c)

==&gt . ==&gt . f(c-0) ≤ f(c) ≤ f(c+0), т.е. функция в точке c

f(c+0) = infc&lt .x&lt .bf(x) ≥ f(c) x &gt . c ==&gt . f(x) ≥ f(c) непрерывна, разрыва нет, противоречие.

f(x) = xh

f-1(y) = y1/n =

Предположим, имеется число a &gt . 0, ar, r ϵ ℚ. Пусть r = ,

1. ar = (a1/n)m = (am)1/n = am/n

2. ar1⋅ar2 = ar1+r2

3. a-r = 1/ar

4. r1 &lt . r2 ==&gt . ar1 &lt . ar2, a &gt . 1

5. r1 &lt . r2 ==&gt . ar1 &gt . ar2, 0 &lt . a &lt . 1

a &gt . 1, ar /`

r = ∞ n = [r], a = 1 + λ, λ &gt . 0

n → ∞, ar = (1 + λ)2 &gt . (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … &gt . 1 + n⋅λ → ∞

r = -r = p = 0, p = -r.

0 &lt . a &lt . 1:

1. ar = 1/(1/ar) = 1/(1/a)r → 0

2. 1/a &gt . 1, (1/a)r → ∞

3. (ar1)r2 = ar1r2

a &gt . 1:

a1/n – 1 = – 1

= 1 + λ, λ &gt . 0:

a = (n = (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … &gt . 1 + n⋅λ ==&gt . a-1 &gt . n⋅λ ==&gt . λ &lt . (a-1)/n ==&gt . – 1 &lt . (a-1)/n

a1/n – 1 &lt . (a-1)/n

0 &lt . r &lt . 1:

1/(n+1) &lt . r ≤ 1/n

ar – 1 ≤ a1/n – 1 &lt . (a-1)/n = (n+1)/n ⋅ (a-1) ⋅ 1/(n+1), (n+1)/n = 1n+1/n ≤ 2

(a-1)/n &lt . 2⋅(a-1)⋅r

-1 &lt . r &lt . 0:

0 &lt . -r &lt . 1

0 &lt . 1 – ar = 1 – ar = 1 – 1/a-r = (a-r – 1)/a-r &lt . a-r – 1 &lt . 2⋅(a-1)⋅(-r)

0 &lt . 1 – ar &lt . a-r – 1 &lt . 2⋅(a-1)⋅(-r)

|r| &lt . 1 ==&gt . |ar – 1| ≤ 2⋅(a-1)⋅|r|

Неравенство Бернулли

a &gt . 1, ar/`

c ϵ ℚ

r,p ϵ ℚ, r,p &lt . c

|r — p| &lt . 1,

|ar — ap| = ap⋅|arp — 1| &lt . ac⋅|arp — 1| ≤ ac⋅2⋅(a-1)⋅|r-p| = Mc⋅|r-p|, Mc = ac⋅2⋅(a-1)

ax, x notϵ ℚ, c &gt . x, c ϵ ℚ. rn ϵ ℚ, rn → x, rn &lt . c

∃ limn→∞arn = ax

Доказательство:

rn, rm

∃ N: |rn — rm| &lt . 1 для n,m &gt . N

|arn — arm| &lt . Mc⋅|rn — rm| &lt . Mc⋅(ℰ/Mc) = ℰ ==&gt . критерий Коши доказан, предел существует

rn → x, pn → x

0 ≤ |arn — apn| &lt . Mc⋅|rn — pn| → 0

|arn -ax| &lt . Mc⋅|rn — x| ==&gt . справедливо как для ℚ, так и для иррац.

|ax — ay| c &gt . x,y, c ϵ ℚ, rn ϵ ℚ rn → x, rn &lt . c

pn ϵ ℚ pn → y, pn &lt . c

|arn — apn| &lt . Mc⋅|rn — pn|

limx→y ax = ay

x &lt . y ==&gt . ax &lt . ay

ax = limn→∞ arn, rn → x, rn ϵ ℚ

ay = limn→∞ apn, pn → x, pn ϵ ℚ

∃ N: n &gt . N ==&gt . rn &lt . pn ==&gt . arn &lt . apn

↓ ↓

ax ≤ ay

x &lt . λ &lt . μ &lt . y, λ,μ ϵ ℚ

rn &gt . λ, pn &gt . μ,

arn &lt . aλ &lt . aμ &lt . apn

ax ≤ aλ &lt . aμ

ay ≤ aλ &lt . aμ

ax &lt . ay

ax⋅ay = ax+y:

rn → x, pn → y

arn⋅apn = arn+pn → ax⋅ay = ax+y

xn → ∞ axn → +∞ lim ax = +∞

[xn] → ∞ axn ≥ [axn] → ∞

limx→–∞ ax= 0

(ax)y = axy:

x &lt . 0:

0 &lt . b &lt . 1, b = 1/a, a &gt . 1

by = (1/a)y = 1/ay

x,y, ϵ ℕ:

y = m

(ax)m = ax⋅ax⋅…⋅ax = axm

y &lt . 0:

–m &gt . 0

(ax)m = 1/ax(–m) = 1/a-xm = axm

y = 1/n:

(ax)1/n = n√ax

(ax/n)n = a(x/n)n = ax ==&gt . ax/n = n√ax = (ax)1/n

(ax)1/n = ax/n

y = m/n:

(ax)m/n = ((ax)1/n)m = (ax/n)m = a(x/n)m = ax(m/n)

pn → y, pn ϵ ℚ:

(ax)pn = axpn

x⋅pn → x⋅y

(ax)pn → (ax)y = axpn → axy

logax, xα

a &gt . 1: 0 &lt . a &lt . 1: a = 1:

ax

ax 1 logax 1 ax

1 1

loga (xy) = loga x = loga y:

aα = aβ ==&gt . α = β

aloga (xy) = x⋅y:

aloga x + loga y = aloga x ⋅ aloga y = x⋅y

loga x = logb x/logb a .

log1x

a = e = lim (1+1/n)n

e x = exp(x)

log e x = ln x

xα:

α = m/n:

xm/n = (x1/n)m.

xα = e αln x, x &gt . 0

xα – непрерывная функция, т.к. e y – непрерывная.

(x⋅y)α = xα ⋅ yα:

(x⋅y)α = e αln (xy) = e αln xe αln y = xα ⋅ yα

xα = e αln x = aαlog a x


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.95%
НЕТ
41.05%
Проголосовало: 782

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет