Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разнообразным областям знания (математика, физика, лингвистика, экономика и т.д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из математических объектов – чисел, геометрических фигур и т.д. Очень часто встречаются числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых множеств являются:
а) множество всех натуральных чисел (
) .
б) множество всех положительных рациональных чисел (
) .
в) множество всех рациональных чисел(
) .
г) множество всех целых чисел (
) .
д) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
е) 
множество всех чисел вида 
, где n принимает все натуральные значения.
Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа a и b, a< .b, то множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству 
, называют числовым отрезком или, если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обозначают [ a . b ]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами a и b (см. рис. 3).
|
|
|
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству 
, называют числовым промежутком или, короче, промежутком и обозначают (a, b). На числовой оси это множество изображается отрезком, у которого отброшены концевые точки (см. рис. 4).
Иногда нам будут встречаться множества чисел, удовлетворяющих неравенствам 
или 
(рис. 5). Их называют (числовыми) полуотрезками и обозначают [ a . b), или (a . b ]. Квадратная скобка означает, что соответствующий конец включается в множество, а круглая, что он исключается.
Числовые отрезки, полуотрезки и промежутки имеют конечную длину. Рассмотрим теперь множество чисел, удовлетворяющих неравенству 
+∞. Такое множество называется числовым лучом. Числовой луч имеет бесконечную длину. Числовым лучом называют и множество чисел, удовлетворяющее неравенству вида –∞ 
.
Числовые лучи обозначают так: [ a . +∞), (–∞ . a ].
С числовыми множествами приходится иметь дело при решении уравнений и неравенств. С каждым уравнением связаны два числовых множества. Первое из них – область определения уравнения. Это множество состоит из всех значений x, для которых имеют смысл обе части уравнения. Например, область определения уравнения
задается условиями 
(квадратный корень в множестве действительных чисел можно извлечь лишь из неотрицательного числа) и 
(на нуль делить нельзя). Отсюда получаем, что область определения данного уравнения состоит из всех точек числового отрезка [-5, 5], кроме точки x =2.
|
|
|
Второе множество, связываемое с уравнением, – это множество его корней, т.е. чисел, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество.
Например, для данного уравнения множество корней состоит из одного числа 3.
