X-PDF

Дифференциальные уравнения первого порядка

Поделиться статьей

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x,y,y’,y’’..y’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

 

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

 

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием.

 

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y )=0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y (x) — искомая функция, y (x) — ее производная. Если уравнение F (x, y, y )=0 можно разрешить относительно y , то его записывают в виде y = f (x, y)

 

Уравнение y = f (x, y) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

                      P(x .y)dx+Q(x .y)dy=0,

Где P(x .y) и Q(x .y) – известные функции. Уравнение P(x .y)dx+Q(x .y)dy=0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

 

Если дифференциальное уравнение первого порядка y = f (x, y), имеет решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=φ (x,C), где C — произвольная константа.

Функция  y=φ (x,C) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Она содержит одну произвольную постоянную и удовлетворяет условиям:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

1. Функция  y=φ (x,C) является решением ДУ при каждом фиксированном значении С.

2. Каково бы ни было начальное условие y(x0) = y0, можно найти такое значение постоянной С=С0, что функция  y=φ (x,C 0) удовлетворяет данному начальному условию.

 

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция y=φ (x,C 0), полученная из общего решения y=φ (x,C) при конкретном значении постоянной С=С0.

Задача отысканиярешения ДУ первого порядка P(x .y)dx+Q(x .y)dy=0, удовлетворяющего заданному начальному условию y(x0) = y0 , называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).

 

Если в уравнении y = f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная fy (x, y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x0 . y0 ), то существкет единственное решение   y=φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0 . (без доказательства)

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

                                 P(x)dx+Q(y)dy=0.

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое — от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

∫ P(x)dx+∫Q(y)dy=с – его общий интеграл.

 

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

                                  P1(x) . Q1(y) . dx+ P2(x) . Q2(y) . dy=0.

Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от х другая – только от у.

Уравнение P1(x) . Q1(y) . dx+ P2(x) . Q2(y) . dy=0 легко сводится к уравнению    P(x)dx+Q(y)dy=0. путем почленного деления его на Q1(y) . P2(x)≠0. Получаем:

, — общий интеграл.

 

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.97%
НЕТ
41.03%
Проголосовало: 775

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет