Теорема существования. Если:
1) функция 
обращается в нуль в некоторой точке 
.
2) 
и 
определены и непрерывны в окрестности точки 
.
3) 
,
то в некоторой достаточно малой окрестности точки 
существует единственная однозначная непрерывная функция
,
удовлетворяющая уравнению
и такая, что 
.
Частные производные функций, заданных неявно. Если выполнены все условия приведенной выше теоремы и, кроме того, функция 
дифференцируема в окрестности точки 
, то функция 
дифференцируема в окрестности точки 
и ее производные 
и 
могут быть найдены из уравнений
.
Если функция 
дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием этих уравнений вычисляются производные высших порядков от функции 
.
Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть функции 
удовлетворяют следующим условиям:
1) обращаются в нуль в точке 
.
2) дифференцируемы в окрестности точки 
.
3) функциональный определитель (якобиан) 
в точке 
.
Тогда система уравнений
однозначно определяет в некоторой окрестности точки 
систему дифференцируемых функций
, 
,
удовлетворяющих системе уравнений 
и начальным условиям
, 
.
Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы
.
Пример 6.1. Найти в точке (1 .1) частные производные функции 
, заданной неявно уравнением
.
Решение. Из уравнения найдем значение функции 
в данной точке:
. Функция 
равна нулю в точке (1 .1 .2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные
также непрерывны, 
.
Поэтому функция 
является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (1 .1 .2) и ее частные производные можно найти по формулам:
.
Тогда
,
а значение в точке (1 .1 .2):
.
Пример 6.2. Найти производные первого и второго порядков неявных функций 
в точке 
, если эти функции заданы системой уравнений
(1)
и удовлетворяют условиям 
.
Решение. Функции
и 
дифференцируемы в окрестности точки 
. Частные производные
непрерывны в точке 
. Так как 
и 
, а якобиан в точке 
отличен от нуля, т. е.
,
то система уравнений (1) определяет единственную пару функций 
, дважды дифференцируемых в окрестности точки 
.
Продифференцируем систему (1) по переменной 
:
(2)
Подставив координаты точки 
в эту систему, получим
Тогда 
. Еще раз продифференцируем по 
систему (2):
В точке 
имеем
Тогда 
.
6.1. Уравнение 
определяет 
как многозначную функцию от 
. В каких областях эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные ветви.
Найти 
и 
для функций, определяемых следующими уравнениями:
6.2.  . |
6.3.  . |
6.4. Доказать, что для кривой второго порядка
справедливо равенство
.
Для функции 
найти частные производные первого и второго порядков, если:
6.5.  . |
6.6.  . |
6.7. Найти 
при 
, если
.
Найти 
и 
, если:
6.8.  . |
6.9.  . |
6.10. Найти 
, если 
.
6.11. Найти 
, если 
.
6.12. Найти 
и 
, если 
.
6.13. Найти 
и 
, если 
, 
.
6.14. Система уравнений
определяет дифференцируемые функции 
и 
такие, что 
и 
. Найти 
и 
.
6.15. Функция 
задана уравнением
.
Показать, что
.
Ответы: 6.1. 1) нигде . 2) 
. 3) 
. 4) 
. однозначные ветви: 
,
. 
, где 
. 6.2. 
. 6.3. 
.
6.5. 
. 
. 6.6. 
.
6.7. 
. 
.
6.8. 
.
.
6.9. 
.
6.10. 
.
6.11. 
. 6.12. 
.
6.13. 
. 6.14. 
.
