X-PDF

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

Поделиться статьей

Дифференциал функции.

1. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

2. Дифференциальная функции, его геометрический смысл.

3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.

4. Дифференциал высших порядков.

 

Введение.

Дифференцирование функции есть одна из важнейших операций математического анализа, которую мы должны поэтому тщательно изучить. Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных называется дифференциальным исчислением и составляет собой один из основных разделов математического анализа. В первую очередь мы должны овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том числе – всех элементарных функций.

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где А – некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

 

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

 

Теорема1. Для того чтобы функция была дифференцируема в необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Установим связь между понятием дифференцируемости и непрерывности.

 

Теорема2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

 

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке.

 

Например, функция непрерывна в точке , но производной в этой точке не имеет. Действительно, .

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то будем говорить, что функция дифференцируема на данном промежутке.

 


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.72%
НЕТ
41.28%
Проголосовало: 1066

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет