МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕАМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
«АМУРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
(ГПОАУ АТК)
Доклад
Тема: «Особенности обучения студентов СПОдоказательствам математических утверждений»
г.Свободный, 2021 г.
Особенности обучения студентов СПО доказательствамматематических утверждений
АндрееваАнна Викторовна, преподаватель математики
ГПОАУ«Амурский Технический Колледж»
Проблема обучения учащихся доказательству всегда являласьодной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время ееактуальность возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизацииобразования предполагает направленность обучения на развитие личности, наформирование ее свойств, в частности нравственности, что возможно лишь вконтексте обучения доказательству. Обучение доказательству должно быть одной изцелей обучения математике и являться составляющей основы конструированиясодержания обучения математике в СПО.
Обучение доказательству играет большую роль в развитиидедуктивно-математического мышления и общих мыслительных способностей учащихся.
Несмотря на обилие работ, и рекомендаций по обучениюучащихся доказательству, владение соответствующим умение находится на низкомуровне. Поэтому проблема обучения доказательству является актуальной.
Основу разработки методики обучения доказательствусоставляют следующие положения:
1) обучение доказательству есть обучение анализудоказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску иконструированию его доказательства, а также опровержению предложенныхдоказательств;
2) единство логики и эвристики в обучениидоказательству;
3) обучение доказательству – деятельность, имеющаяспецифическое строение, условия и форму осуществления.
В школьном обучении у ребенка начинает развиваться словесно-логическоемышление.
Словесно-логическое мышление осуществляется с помощьюследующих мыслительных действий.
Анализ – мысленное расчленениеобъекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей,взаимосвязей этих частей объекта.
Синтез – мысленноевоссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.
Сравнение – сопоставлениеобъектов познания с целью нахождения сходства и различий между ними.
Абстрагирование – это мысленноевыделение каких-либо существенных свойств и признаков при одновременномотвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результатеабстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметоммышления.
Обобщение в математикеиспользуется в двух различных формах:
1) эмпирическое обобщение, как мысленное выделениеобщих свойств в нескольких объектах и объединение их в группы на основевыделенных инвариантов.
2) научно-техническое обобщение, как мысленноевыделение в рассматриваемом объекте с помощью глубокого анализа свойств этогообъекта, какого-то существенного свойства в виде общего понятия для целогокласса объектов, обладающих выделенным свойствам.
Конкретизация – также можетвыступать в двух формах:
1) как мысленный переход от общего к единичному,частному.
2) как восхождение от абстрактно-общего кконкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этогоабстрактно-общего, как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретнымсодержанием.
Классификация – разделение множества объектовна непересекающиеся части по какому-то основанию – свойству, признаку.
Видом умозаключений являютсясуждения, выводимые из других суждений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии.
Дедукция – это вид умозаключения,когда из некоторых истинных суждений чисто логическим путем, на основеизвестного общего правила выводится как их непосредственное следствие новоесуждение. В обучении математике изложение нового учебного материала обычнопроизводится с помощью дедуктивных рассуждений. Доказательство теорем – этовывод, полученный дедуктивно на основе понятий системы аксиом, определений иусловий теоремы. Широкое использование в обучении математике дедуктивныхрассуждений способствует развитию у учащихся логического мышления, учит ихобосновывать свои решения задач.
Однако сами математические факты и положения открывают,устанавливаются с помощью не дедукции, а большей частью с помощью индукции ианалогии.
Индукция – это переход от единичного знания обопределенных предметах данного множества к общему выводу обо всем предметеданного множества. Основой индуктивного вывода являются результаты наблюдений иэкспериментов над отдельными предметами данного множества. Однако индуктивноеобобщение является лишь гипотезой, справедливость которой должна быть, затемдоказана дедуктивно.
Аналогия – вид умозаключения,когда свойства одного предмета переносятся на другой предмет, чем-то подобныйпервому. Например, для всякого треугольника справедливо, что каждая его сторонаменьше суммы двух других сторон. В пространстве треугольнику аналогичнатреугольная пирамида, поэтому можно предполагать по аналогии, что площадькаждой грани треугольной пирамиды меньше суммы площадей остальных граней.Однако этот вывод нуждается в доказательстве, которое может быть проведено лишьдедуктивно.
Доказательства представляют собой цепочки умозаключений,ведущих от истинных посылок к доказываемым тезисам.
Доказательство включает в себя три основных элемента:
1. Тезис (главная цель доказательства – установитьистинность тезиса). Форма выражения тезиса – суждение.
К доказываемому тезису предъявляют следующие требования:
1). Тезисдолжен быть сформулирован ясно и определенно.
2). Тезисдолжен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.
2. Аргументы доказательства – положения, на которыеопирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимоследует истинность доказываемого тезиса.
Требования, предъявляемые к аргументам:
1). Аргументыдоказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.
2). Аргументыдолжны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо оттезиса.
3. Демонстрация – логический процесс взаимосвязисуждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.
Способы связи аргументов от условия к заключению сужденияназывают методами доказательства, которые в школьном курсе математики, делятсяна прямые и косвенные.
Под обучением доказательству мыпонимаем обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению,самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, атакже опровержению предложенных доказательств.
Огромная роль в самостоятельном поиске доказательствпринадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию,обобщение, конкретизацию, анализ и т. д.
Р.С. Черкасов в своей книге писал, что математическое доказательство– это доказательство математических предположений или доказательствопредположений в рамках какой-нибудь математической теории.
Приемы прямого доказательства:
1) прием преобразования условия суждения (синтетический);
2) прием преобразования заключения суждения: отысканиедостаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отысканиенеобходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкойобратимости рассуждения (нисходящий анализ);
3) прием последовательного преобразования то условия, тозаключения суждения.
Приемы косвенного доказательства:
1) «метод от противного» (истинность доказываемого тезисаустанавливается посредствам опровержения противоречащего ему суждения);
2) разделительный (тезис рассматривается как один извозможных вариантов предложений, когда отвергаются все предложения, кромеодного).
Ознакомить учащихся с доказательством теоремы можноразличными путями.
Прием 1. Для изложениядоказательства теоремы учитель использует частично-поисковый метод, такимобразом, активизация класса происходит посредствам эвристической беседы,которую ведет учитель с учащимися.
Заметим, что вопросы, которые по ходу доказательстватеоремы задает учащимся учитель, должны соответствоватьаналитико-синтетическому ходу рассуждений, это поможет школьникам самим искатьпуть доказательства, а не получать его в готовом виде.
Частично-поисковый метод изложения доказательства теоремы взначительной степени активизирует познавательную деятельность учащихся. Этотметод создает дидактические трудности, преодоление которых направляет истимулирует интеллектуальную деятельность школьника.
Прием 2. Учитель излагаетдоказательство теоремы объяснительно-иллюстративным методом в форме краткогорассказа, не прерывая его вопросами в адрес учащихся.
Этот прием обеспечивает высокое качество изложениядоказательства, позволяет учащимся легче воспринимать последовательность,обоснованность и другие стороны доказательства. Роль учителя в таком случаевыступает для школьников научным и логическим образом оформлениядоказательства, они учатся строить умозаключения, делать обобщения и выводы.
Объяснительно-иллюстративный метод изложения доказательстватеоремы в отличие от частично-поискового. Позволяет экономить время на уроке.Этот метод обычно используют в тех случаях, когда доказательство большое пообъему или же когда теорема доказывается принципиально новым для учащихсяспособом.
Прием 3. Метод самостоятельногоизучения доказательства по учебнику. Учитель выступает здесь в роликонсультанта и организатора. Учащимся даются указания к выполнению работы,обращается внимание на основные и наиболее трудные моменты в доказательстве.Для облегчения самостоятельного изучения доказательства теоремы учитель можетпредложить учащимся готовый план.
В среднем профессиональном образовании для изложениядоказательства чаще всего используются частично-поисковый метод и методсамостоятельного изучения. Так как в этих методах присутствуют все требования кобучению доказательства, а самое главное такой элемент как опровержениедоказательства и методы научного познания.
Одна из основных задач учителя– помочь своим ученикам овладеть культурой построения математическихдоказательств, научить их последовательно и логично обосновывать каждый шаграссуждений при решении задач и доказательстве теорем.
Литература
1. Атанасян, Л.С.Геометрия для 10 – 11 классов: учеб. пособие для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.:Просвещение, 2003. – 206 с.
2. Гусев, В.А.Методика преподавания геометрии: учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.А.Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др. – М.: Академия, 2004. – 368 с.
3. Далингер, В.А. Методика обучения учащихся доказательствуматематических предположений : учеб.пособие / В.А. Далингер. – М.: Просвещение,2006. – 256с.
4. Интеграция инновационных подходов к обучению в математическомобразовании: вопросы теории и практики: Коллективная монография / Под ред. О.Б. Епишевой. — Тюмень: ТюмГНГУ, 2009. — 200 с.
5. Саранцев, Г.И.Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И.Саранцев. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 183 с.
6. Тимофеева, И.Л.Некоторые замечания о методе доказательства от противного / И.Л. Тимофеев // Математика в школе. – 1994. — № 3. – С. 36-38.
7. Фридман, Л.М.Теоретические основы методики обучения математики / Л.М. Фридман. – 2-е изд.испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 248 с.
8. Яровенко, В.А.Поурочные разработки по геометрии 10 класс: в помощь школьному учителю / В.А.Яровенко. – М.: ВАКО, 2006. – 304 с.
