Достаточные условия экстремума

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. . Тогда если второй дифференциал является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных , то функция имеет в точке локальный минимум (максимум). Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точке функция не имеет локального экстремума.

Рассмотрим случай двух переменных. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. . Введем обозначения:

.

Тогда на основе вышесказанного и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, известного из курса линейной алгебры, следуют такие выводы:

1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем максимум, если и минимум, если .

2) если , то в точке функция не имеет локального экстремума .

3) если , то в точке функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его.

Обратимся к определению условного экстремума. Рассмотрим функцию при условии, что ее аргументы связаны между собой соотношениями . Последние называют условиями связи. Пусть координаты точки удовлетворяют условиям связи.

Определение 10.3. Функция имеет в точке условный минимум (максимум) при условии связи , если найдется такая -окрестность точки , в пределах которой значение является наименьшим (наибольшим) из всех значений этой функции, т. е. выполняется неравенство

.

Другими словами, условный минимум (максимум) – это наименьшее (наибольшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки , а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Рассмотрим два метода нахождения точек условного экстремума.

1. Метод исключения. Если уравнения связи

удается разрешить относительно каких-то переменных, например относительно переменных , т. е.

то исследование функции на условный экстремум при ограничениях сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции переменных :

.

2. Метод Лагранжа. Пусть функции

,

непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и ранг матрицы Якоби

в этой точке равен . Функцию

называют функцией Лагранжа, параметры называют множителями Лагранжа. Сформулируем необходимые и достаточные условия существования условного экстремума.

Необходимые условия. Для того чтобы точка являлась точкой условного экстремума функции при уравнениях связи , необходимо, чтобы ее координаты при некоторых значениях удовлетворяли системе уравнений

Достаточные условия. Пусть функции

,

дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , а также пусть в этой точке выполняются необходимые условия существования условного экстремума функции при

.

Тогда если при выполнении условий

второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет условный строгий минимум (максимум). Если второй дифференциал является неопределенной квадратичной формой, то в точке условного экстремума нет.

Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Эти значения она может принимать как во внутренних точках множества (точки экстремума), так и на его границе. Следовательно, необходимо специальное исследование граничных точек множества.

Пример 10.1. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Найдём стационарные точки из системы уравнений:

.

Имеется одна стационарная точка . Выясним, является ли эта точка точкой экстремума. Найдём вторые производные:

. . . .

Так как , то в точке есть экстремум. Поскольку , то в точке функция имеет локальный минимум, равный .

Пример 10.2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных

.

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

.

Решив систему

найдем стационарные точки и .

Вычислим частные производные второго порядка:

Составим матрицу второго дифференциала функции:

.

В точке ее главные миноры

положительны. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум . Для исследования функции в точке нельзя использовать критерий Сильвестра, т. к. . В этой точке экстремума нет. Действительно, , а в сколь угодно малой окрестности точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, если , и если .

Пример 10.3. Найти экстремум функции при условии методом множителей Лагранжа.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

,

где λ – множители Лагранжа.

Исследуем функцию на экстремум. Определим стационарные точки, используя необходимые условия существования экстремума. Найдем частные производные функции и приравняем их к нулю:

Следовательно, имеется одна стационарная точка . Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Вычислим второй дифференциал функции . Для этого необходимо найти частные производные второго порядка в точке :

.

Тогда дифференциал второго порядка можно записать следующим образом:

.

Так как , то в точке функция имеет условный ми-

нимум:

.

Пример 10.4. Найти условные экстремумы функции

относительно уравнения связи

.

Решение. Функции и непрерывно дважды дифференцируемы. Матрица Якоби в данном случае имеет вид , и ее ранг равен единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:

.

Согласно необходимым условиям получаем систему

из которой находим, что при и

при . Таким образом, функция может иметь условный экстремум только в двух точках: и .

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Так как

, то .

Найдем первый дифференциал функции : .

В точках и дифференциалы и связаны равенством . Откуда . Следовательно, . Тогда второй дифференциал функции Лагранжа в точке является положительно определенной квадратичной формой

,

а в точке – отрицательно определенной квадратичной формой

.

Следовательно, функция в точке имеет условный минимум , а в точке – условный максимум .

Пример 10.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области , заданной системой неравенств .

Решение. Определим стационарные точки заданной функции в данной области и изучим поведение функции на границе области. Найдем частные производные первого и второго порядка функции :

.

.

Из системы уравнений (необходимое условие существования экстремума) определим стационарную точку:

Стационарная точка принадлежит области и является точкой экстремума (достаточное условие), т. к.

.

Рис. 12

Точка является точкой минимума, поскольку и . Исследуем поведение функции на границе области. На оси Ox и наибольшие значения функция принимает в наиболее удалённых от нуля точках, т. е. при . Это точки и (рис. 19).

На прямой

.

Точка – точка минимума . Для всех функция возрастает, поэтому в пределах области наибольшее значение она принимает в точке .

На прямой

. .

Точка – точка минимума, В пределах области наибольшего значения функция достигает в точке или в точке .

На прямой

.

Точка – точка минимума. В пределах области наибольшее значение функция принимает в точке .

Осталось вычислить значения функции в точках , , , . значение в точке вычислено выше :

.

Таким образом, сравнивая все полученные значения функции, выбираем из них наибольшее (в точке ) и наименьшее (в точке ) значения:

Пример 10.6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств

, .

Решение. Область ограничена прямой и параболой . Вначале исследуем функцию на экстремум: найдем частные производные и приравняем их к нулю. Определим стационарные точки:

.

Стационарная точка: . Используем достаточные условия экстремума:

.

Так как , функция экстремума не имеет. Поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения на границах заданной области.

Исследуем поведение функции на границах области.

1. Если , , , – точка минимума, т. к. .

2. Если , то

. .

Имеем две критические точки:

и . , . , .

По второму достаточному условию , значит, M ₁ – точка минимума. Поскольку , то M ₂ – точка максимума. Вычисляем значения функций в этих точках:

. .

3. Вычисляем значения функции в граничных точках и

.

Выберем наибольшее и наименьшее значение из найденных значений:

. . .

. .

Таким образом, наибольшее значение и наименьшее значение функции в заданной области составляют

. .

Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:

10.1. .

10.2. .

10.3. .

10.4. .

10.5. .

10.6. .

10.7. .

10.8. .

10.9. .

10.10. Доказать, что функция :

1) вдоль каждой прямой, проходящей через точку , имеет в этой точке минимум .

2) не имеет минимума в точке .

Найти экстремальные значения заданной неявно функции:

10.11. .
10.12. .
10.13. .

Найти точки условного экстремума следующих функций:

10.14. .	10.15. .
10.16. .
10.17. .	10.18. .
10.19. .
10.20. .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве:

10.21. , если .
10.22. , если .
10.23. , если .

10.24. Показать, что функция имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.

10.25. Найти расстояние между поверхностями

.

Ответы: 10.1. . 10.2. , нестрогий минимум при , нестрогий максимум при , , . 10.3. , .

10.4. , седло .

10.5. , .

10.6. Седло . 10.7. .

10.8. .

10.9. при .

10.11. .

10.12. . .

10.13. Нестрогий минимум в точках окружности, .

10.14. .

10.15. , . 10.16. .

10.17. . 10.18. , .

10.19. , .

10.20. , где . 10.21. .

10.22. .

10.23. . 10.25. .