Двумерные случайные величины

Двумерной называют случайную величину (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М(Х, Y) на плоскости хОу либо как случайный вектор .

Функция распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяется соотношением F(x . y) = P(X &lt . x, Y &lt . y) и геометрически определяет вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (Х, Y), лежащий левее и ниже ее.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны . непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан с помощью таблицы

X Y	х 1	х 2	…	хi	…
у 1	p 11	p 21	…	pi 1	…
у 2	p 12	p 22	…	pi 2	…
…	…	…	…	…	…
yj	p 1j	p 2 j	…	pij	…
…	…	…	…	…	…

где x ₁&lt .x ₂&lt .…&lt .x_i&lt .… . y ₁&lt .y ₂&lt .…&lt .y_j&lt .… .

p_ij – вероятность события, заключающаяся в одновременном выполнении равенств Х = х_i . Y = y_j, при этом .

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется равенством .

Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан с помощью функции плотности вероятности f(x,y), удовлетворяющей условиям:

1) f(x . y) ³ 0 . 2) .

Если все возможные значения (Х, У) принадлежат конечной области D, то .

Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область D определяется равенством .

Связь плотности вероятности f(x, y) и функции распределения F(x,y) двумерной непрерывной случайной величины задается соотношениями . .

Законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляются по формулам . .

Для нахождения законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины нужно суммировать вероятности в таблице по строкам или по столбцам.

Условным распределением составляющей Х при Y = у_j (j – сохраняет одно и то же значение при всех возможных значения Х) называют совокупность условных вероятностей , , …, .

Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих X и Y вычисляются соответственно по формулам

. .

Для непрерывных случайных величин формулы вычисления условных плотностей распределения выглядят так:

. .

Числовые характеристики составляющих вычисляются по формулам

. – для дискретных случайных величин .

.

– для непрерывных случайных величин .

. .

. .

Точка называется центром рассеяния двумерной случайной величины ( X, Y).

Для оценки тесноты взаимосвязи составляющих вычисляют корреляционный момент или ковариацию

.

Корреляционный момент удобно вычислять по формуле , где в дискретном и в непрерывном случае.

Степень связи между составляющими в чистом виде характеризует так называемый нормированный корреляционный момент, или коэффициент корреляции , обладающий следующими свойствами: 1) 2) тогда и только тогда, когда случайные величины связаны линейной зависимостью.

Случайные величины Х, У называются некоррелированными, если К _XY = 0, а следовательно, и .

Случайные величины Х, Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Для двумерной дискретной случайной величины, представленной в виде таблицы распределения, условие независимости составляющих Х и Y состоит в том, что для любых i и j , где , . Внешне это выражается в том, что строки и столбцы таблицы пропорциональны.

Для двумерной непрерывной случайной величины условие независимости состоит в том, что .

Независимые случайные величины всегда некоррелированны. Обратное, вообще говоря, неверно (т.е. некоррелированные величины могут быть зависимыми).

Условным законом распределения случайной величины Y_x называется закон распределения случайной величины Y при условии, что Х = х.

Функциональная зависимость М[ Y_x ] = j(x) называется регрессией случайной величины Y на случайную величину Х.

Среднее значение квадрата отклонения достигает минимально возможного, когда j(х) – регрессия Y на Х (минимизирующее свойство регрессии).

Функция из класса функций , определяемых набором параметров а₁, …, а_k называется среднеквадратичной регрессией Y на Х в этом классе функций, если среднее значение квадрата отклонения достигает на наборе параметров минимального значения для всех функций этого класса.

Простейшей функцией является линейная . Уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Y на Х выглядит так: .

Аналогично уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Х на Y: .

16.1. Восстановить законы распределения составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х . Y), заданной таблицей распределения. Найти условное распределение случайной величины Х при условии, что Y = y ₁. Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что Х = х ₂.

Х Y
0,2	0,18	0,22	0,16
0,8	0,08	0,16	0,2

16.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х . Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.

Х Y		0,8	1,5
	0,2	0,2	0,1
	0,2	0,1	0,2

16.3. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х . Y), где Х – число попаданий, Y – число промахов. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y.

16.4. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х . Y), имеющей плотность , где D – треугольник ограниченный линиями х = 0 . у = 0 . х + у = 1. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .

16.5. Двумерная непрерывная случайная величина (Х . Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Найти коэффициент а. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.

16.6. Двумерная непрерывная случайная величина (Х . Y) распределена равномерно в круге радиуса R = 5 с центром в начале координат. Доказать, что составляющие Х и Y являются зависимыми и некоррелированными величинами.

16.7. Найти плотность вероятности f(x . y) двумерной случайной величины (Х . Y), имеющей функцию распределения .

16.8. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х . Y), заданной таблицей распределения:

Х Y		0,2	0,5
	0,3		0,1
1,5	0,2	0,1
	0,1		0,2

16.9. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х . Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.

Х Y		0,5
0,5	0,2	0,1	0,2
	0,1	0,3	0,1

16.10. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х . Y), имеющей плотность , где D – прямоугольник . Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .

16.11. Двумерная непрерывная случайная величина (Х . Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.

16.12. Найти плотность вероятности f(x . y) двумерной случайной величины (Х . Y), имеющей функцию распределения .

16.13. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х . Y), заданной таблицей распределения:

Х Y		1,5
	0,3	0,1	0,1
	0,1		0,2
	0,1	0,1