Английский математик Брук Тейлор в 1717 году сделал замечательное открытие. Он вывел одну из главных формул математического анализа, имеющую применения в разных областях науки. Тейлор выяснил, что любую дифференцируемую в окрестности некоторой точки функцию с достаточной степенью точности можно заменить многочленом.
Формула Тейлора. Пусть функция 
имеет в окрестности точки 
конечные производные до 
порядка включительно. Тогда для любой точки из этой окрестности имеет место формула:
.
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член (последнее слагаемое в данной формуле) определяет степень точности, с которой можно заменить функцию соответствующим многочленом.
Формула Тейлора также может быть записана в виде:
, где
— многочлен Тейлора,
, 
— остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа. 
есть погрешность приближенного равенства 
.
Остаточный член 
может быть записан в форме Пеано, в этом случае 
при 
. Такая запись означает, что остаточный член является величиной бесконечно малой более высокого порядка, чем 
.
|
|
|
Иногда многочлен Тейлора 
записывают с помощью дифференциалов функции 
:
Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию 
в окрестности точки 
многочленом 
с точностью, равной значению остаточного члена 
.
