Определение производной.
Лекция №7-8
Список используемой литературы
1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебное пособие.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006.- 251 с.
2 Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
3 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
Тема «Производная»
Цель: объяснить понятие производной, проследить зависимость междунепрерывностью и дифференцируемостью функции, показать применимость использования производной на примерах.
Ключевые слова: производная, приращение аргумента, приращение функции.
Вопросы:
1.Определение производной. Геометрический, механический, экономический смысл производной.
2.Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
3.Вычисление производной. Основные правила дифференцирования.
4.Основные формулы дифференцирования. Таблица производных.
Пусть y=f(x) непрерывная функция от х. Дадим аргументу х приращение 
, тогда функция y получит приращение 
. Составим отношение 
. Это отношение есть некоторая функция от 
. Может случиться, что эта функция имеет предел при 
, т.е. существует
.
Этот предел называется производной от данной функции y и обычно обозначается через 
или
. 
.
Отсюда вытекает такое определение:
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Обозначение 
ввел Лагранж,
Лейбниц, 
Ньютон.
Геометрический смысл производной: для данной функции y=f(x) ее производная 
для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
.
Физический смысл производной: для функции 
, меняющейся со временем t, производная 
есть скорость изменения функции S в данный момент t.
.
Экономический смысл производной: пусть предприятие выпускает однородную продукцию. Тогда издержки производства y можно считать функцией количества выпускаемой продукции x, y=f(x).
Предположим, что количество выпускаемой продукции изменилось на 
, тогда издержки производства изменяются на 
.
.
Разделим приращение издержек производства на приращение выпускаемой продукции
(1).
Это равенство выражает среднее приращение издержек производства на единицу приращенной продукции, перейдем к пределy:
.
Этот предел в экономике называется предельными издержками производства.
