Геометрические задачи для повторения изученного в7 классе.
Содержит задачи повышенного уровня
1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 20
. Из вершины А проведен отрезок АD, которыйобразует с основанием 
60
. Из вершины С отрезок СЕ, который образует с боковой стороной 50
.Образуется неизвестный угол ЕDА. Его нужнонайти. Попробуйте найти решение без тригонометрии.
2. Внутриравнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята такая точка М, что уголMBC = 30°, угол MCB= 10°. Найдите угол АМС, если угол BAC = 80°.
3. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), еслиAB = BC и BF = BD.
4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите,что ∠EMK = ∠FMK.
5. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольникаABC пересекает его сторону BC в точке D. Найдите периметр треугольника ABD,если AB = 10 см, BC = 15 см.
6. Боковая сторона равнобедренного треугольникаделится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:7, считая от вершиныугла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если егопериметр равен 110 см.
7. Точка O — середина биссектрисы AM треугольникаABC. На стороне AC отмечена точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM || AB.
8. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.
9. Угол при вершине равнобедренного треугольникаравен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.
10. К окружности с центром O проведена касательная CD(D — точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.
11. Втреугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса.Докажите, что 
ADB > 
ADCи BD > CD.
12. Докажите,что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делитугол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
13. В треугольнике АВС высота А
не меньше стороны ВС, авысота В
не меньше стороны АС.Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный.
14. В треугольнике АВС проведенабиссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.
15. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если егопериметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.
16. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если егопериметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.
17. На основании AC равнобедренного треугольника ABCотметили точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите,что AM = CK.
18. Дляпары параллельных прямых а и в проведена секущая m, которая пересекает данныепрямые в точке А и точке D соответственно. Из т. С ꞓв (т. С ≠ т. D) проведена прямая, которая проходит через т. О – середину AD и ∩а = т. В. В ∆ВАО углы относятся как 1:2:3 соответственно. Найти величины углов∆COD и длину OD и DC, если ВА=14.
19. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла N пересекает сторону MK в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол MKN.
20. На основании AC равнобедренного треугольника ABCотметили точку M, а на стороне AB — точку K такие, что BK = KM и KM || BC.Докажите, что AM = MC.
