Показательной функцией называется функция 
при условии: 
и 
. При этом функция для 
и строго положительна. Показательная функция быстро возрастает при 
, причем если 
, то 
, а если 
, то 
. Если же 
, то функция быстро убывает, а её поведение противоположно. В любом случае 
.
Основные формулы для показательной функции аналогичны формулам для степенной функции: 1) 
, 2) 
, 3) 
,
4) 
.
В математике есть понятие функции, обратной к данной функции 
, которую иногда обозначают как 
. Такую функцию получают, выражая из исходной функции 
через 
и меняя местами 
и 
в последнем выражении: 
. Графики функций и обратной к ней симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Функцией, обратной к показательной, является логарифмическая функция: 
. Логарифмическая функция определяется так: 
— это показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма 
, чтобы получить данное число 
. Например, если 
, а 
, то 
. Или, если 
, а 
, то 
. Данное действие, т.е. нахождение числа по его логарифму, называется потенцированием. Логарифм по основанию 10 называется десятичным (
), а логарифм по основанию числа 
называется натуральным (
).
|
|
|
Из выше изложенного следует, что логарифмическая функция определена для 
, 
и 
. Она будет возрастающей для 
и убывающей для 
, и в любом случае 
. Основным показательным тождеством называется тождество: 
. А основным логарифмическим тождеством — 
. Они оба вытекают из определения логарифма.
При решении логарифмических уравнений и неравенств используют следующие основные свойства логарифма, причем приведённые равенства могут быть применены как в ту, так и в другую сторону:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
Последнее соотношение может быть использовано и для нахождения с помощью инженерного калькулятора или логарифмических таблиц логарифма по любому основанию, если 
взять равным 
или 
.
Примеры графиков показательной и логарифмической функций даны на рисунке 1.
|
|
