Градиент функции двух переменных

Для анализа направления изменения функции двух переменных в пространстве весьма полезной является векторная характеристика – градиент. Градиентом (или вектор — градиентом) функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции:

.

Здесь Ñ — обозначение градиента (оператор Гамильтона набла ). Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Зная градиент функции в нескольких точках, можно, по крайней мере, локально, строить линии уровня функции на основе следующей теоремы: пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня (точнее, касательной к линии уровня), проходящей через данную точку.

Как и в случае обычных векторов, длину (или модуль) вектора – градиента можно определить в каждой точке по формуле

Модуль градиента – величина максимальной скорости изменения функции в данной точке по направлению, показываемому вектором – градиентом.

Автор статьи

Анастасия

Задать вопрос

Эксперт