Графики функций с модулем

Применение свойств и графиков линейной функции при построении графиковфункций с модулем.

 

 

      Очень часто приизучении какой-либо темы по алгебре мы сталкиваемся с вопросом полезности инеобходимости данного материала, то есть: « А зачем это нужно?». Думаю, что вэтом случае главным аргументом будет практическое применение изученных понятийи свойств для решения более сложных задач. Так мне видится рассмотрение темы«Линейная функция» в 7 классе. В учебнике Ю.Н.Макарычева «Алгебра. 7 класс»после знакомства с основными свойствами, способами построения и взаимнымрасположением графиков появляется п.17 «Задание функции несколькими формулами»,где предлагается всего 7-9 задач на исследование графика «кусочно-заданной»функции. После этого пункта вполне логично и весьма доступно объяснить7-классникам способы построения графиков функций с модулем по определениюмодуля,  методом интервалов и с помощью преобразований.

    Однако,необходимо учесть, что учащиеся 7 класса еще не владеют в полной мере знаниямипо теме «Линейные неравенства», но правила настолько просты и перекликаются стеорией решения линейных уравнений, что трудностей в восприятии этих вопросовне возникает. Предлагаю такой вариант изложения этой темы в 7 классахФизико-математического лицея № 38 г. Ульяновска.

 

(2 урока)

1. Домашнее задание:лекция, тест 6 по теме «Линейная функция» (с сайта www.atw—matem.narod.ru), построить графики функций 1). ,2). ,

3).

 

2. Устный счет потеме «Линейная функция». (6 вариантов) Приложение 1.

 

3. Лекция:

Повторение понятий,изученных в 6 классе:

1. Определение:Модуль – расстояние от нуля до числа, выраженное в единичных отрезках

Обязательно надоотметить «дуализм» модуля, т.е. возможность отложить на луче одинаковоерасстояние и влево, и вправо

                                                                                                    =5, = 7,

-7                               0                      5                          х                                                                                                             

Правило:      

х – подмодульноевыражение, любое число

 

 — всегда неотрицательноечисло!

 

2. Примеры:

Раскройте модуль:

а).   б).

в). Правила раскрытияскобок:

                     

3. Простейшиенеравенства:

Чем больше, тем –правее         (все числа, правее числа 3)

Чем меньше, тем –левее          (все числа, левее числа– 4 и само число -4)

Правила:

1.При переносеслагаемого из одной части неравенства в другую знак неравенства не меняется,а знак слагаемого меняется на противоположный(как в уравнениях).

2. Переноситьслагаемые так, чтобы коэффициент при переменной был положительным.

3. При делении обеихчастей неравенства на  число знакнеравенства .

Примеры:

а). 5х -10≥0       переносим -10                       б). 10 – 5х ≥ 0    переносим -5х

     5х ≥10          делим обе части на 5                  10 ≥ 5х          делим обе части на 5                 

       х ≥2            2 и все числа, правее 2                2 ≥ х            «развернем» неравенство

                                                                                 х ≤ 2             2 и все числа,левее 2                      

4. Построениеграфиков.

 После такойподготовительной работы можно приступить к построению простейших графиковметодом  «по определению модуля».

1. . Выясняем, сколько модулей присутствует вданной формуле какое подмодульное выражение.(х). Обращаемся к определениюмодуля и рассматриваем 2 ситуации, в зависимости от знака подмодульноговыражения.

На этом этапеочень важно объяснить учащимся, что значения абсцисс точек для построенияобязательно должны соответствовать условиям системы, при этом, первое значениевыбираем «концевое». (В данном примере х=0). Фиксируем вспомогательный элементпостроения: х = 0 – «разделяющая прямая». С нее и начинаем построение, длятого, чтобы отделить зоны расположения графика.

    

 

 

 

 

 

 

                    График1.                                                                       График 2.

2. . Все рассуждения строим аналогично,только при подборе опорных точек учитываем, что координаты должны быть целымичислами.

3. . Применяя определение модуля, обратимвнимание учащихся, что подмодульное выражение в этом случае уже не «х», а«3х-1», поэтому раскрытие зависит от знака этого выражения.

 =>  х= — разделяющая прямая.

Можнопорекомендовать учащимся изменить масштаб по оси Ох для более точногопостроения графика.

                       

                           График 3.                                                                       График4.

4. . Подмодульное выражение «х – 1»

   => => 

х = 1 – разделяющаяпрямая.

5. После выполненияэтих упражнений можно перейти к самой сложной части темы – к построениюграфиков «методом интервалов». При объяснении материала необходимо дать четкийалгоритм действий, приводящих к итоговому построению. Также, предварительно,надо повторить свойство возрастающей линейной функции, меняющей свой знак припереходе через «ноль функции».(Достаточно показать на рисунке).

Правило: Возрастающая линейная функция (к>0) при переходе через свой нольменяет знак с минуса на плюс.

. Обратим внимание учащихся на то, чтоформула функции содержит 2 модуля, значит, нельзя применить метод «поопределению модуля». Тогда начинаем выполнять действия «по шагам»:

1. Найдем нули модулей: х = 2, х = -1.
2. Отметим на числовом луче и определим количество зон построения (3)
3. Заполним таблицу знаков подмодульных выражений:

                                                                       — 1                                     2

х
Х — 2	—	—	+
Х + 1	—	+	+

 

4.Раскроеммодули по определению на каждом из промежутков, учитывая знаки подмодульныхвыражений.

1). => =>

2). => =>

3). => =>

х =2, х = — 1 – разделяющие прямые. График состоит из лучей и отрезков,расположенных в соответствующей полосе. Подбор опорных точек таков, что онипопадают на разделяющие прямые, поэтому для построения частей графикадостаточно соединить это точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           График 5.

Послеобъяснения материала необходимо поработать с графиками и в классе, и дома.

Задания для классной работы:

                               

           

Задания для домашней работы:

           

Задания для самостоятельной  работы:

1 вариант: 1.     2.

2 вариант: 1.     2.

 

      Несомненно, данный материал очень трудный для восприятия семиклассников, всезадания классной работы надо выполнять под руководством учителя, обязательнопроверить со всем классом задания домашней работы и за самостоятельную работувыставить только положительные отметки.

 

     После усвоения этого метода построения графиков вполне логично было познакомитьучащихся с преобразованиями графиков функций  и, и показать на примере функции с модулем,как осуществляется движение графика в системе координат. Этот материал учащиесяосваивают легко и быстро, при этом, не забываем о предыдущем методе, т.к.преобразования можно использовать не всегда.

     Такое прочтение данной темы позволило показать практическое применение знанийучащихся о линейной функции и подготовило к восприятию, в дальнейшем, методоврешения уравнений и неравенств с модулем, а также, построения любых графиков спомощью преобразований и по определению модуля.