X-PDF

И эллиптических уравнений

Поделиться статьей

Канонический вид гиперболических, параболических

При помощи общих интегралов определяются новые переменные и, поэтому форма записи уравнения в новых переменных будет зависеть от дискриминанта . Рассмотрим все возможные случаи .

1) Дискриминант в области . Гиперболический тип уравнения. В этом случае правые части уравнений (10) будут действительными и различными функциями. Решая эти дифференциальные уравнения найдем два общих интеграла и . Тогда, согласно доказанному выше, полагая в качестве новых переменных , , получим и в новых переменных исходное уравнение будет иметь следующий вид .

Преобразуя, получим

, .

Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения. Приведем еще одну каноническую форму для гиперболических уравнений. Для этого введем новые переменные

, .

Вычислим частные производные

, .

Подставляя эти выражения в первую каноническую форму, получим

,

Это вторая каноническая форма для гиперболических уравнений.

2) Дискриминант в области . Параболический тип уравнений. В этом случае решения уравнений (10) совпадают и в результате решения этих уравнений получим только один общий интеграл . Возьмем в качестве новой переменной . В качестве второй переменной возьмем любую функцию , функционально не зависящую от , то есть такую, что

.

При таком выборе получим

.

При этом в силу произвольности . Кроме того,

=

.

Учитывая это, получим

, .

Получили каноническую форму для параболических уравнений.

3) Пусть дискриминант в области . Эллиптический тип уравнений. В этом случае правые части уравнений (10) будут комплексными функциями. Тогда общий интеграл также будет комплексной функцией. Обозначим эту функцию через . Сопряженная к ней также будет общим интегралом. Тогда можно ввести новые комплексные переменные

, .

В результате введения этих переменных, как и в случае гиперболических уравнений, получим — канонический вид эллиптических уравнений. Рассмотрим также и другую каноническую форму с вещественными переменными. Для этого введем новые, вещественные переменные

, .

Откуда получим . Вычисляя коэффициенты по формулам (6) получим вторую каноническую форму для эллиптических уравнений

.

Пример 1. Уравнение в частных производных , заданное в области , преобразовать к каноническому виду.

Решение. Вычислим дискриминант данного уравнения

.

Следовательно, данное уравнение гиперболического типа. Составим характеристическое уравнение

Откуда получим , . Решим эти дифференциальные уравнения методом разделения переменных:

Откуда, интегрируя, получим или . Аналогично решим второе уравнение

Таким образом, общие интегралы будут такими. Введем, согласно общей теории преобразований, новые переменные

.

По формулам (5) для частных производных найдем выражения в новых переменных:

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим канонический вид в новых переменных:

Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

Пример 2. Преобразовать в канонический вид уравнение

Решение. Вычислим дискриминант . Дискриминант равен нулю и, следовательно, уравнение параболическое. Составим характеристическое уравнение:

или

Откуда и общий интеграл этого уравнения будет

Введем новые переменные и найдем выражения для частных производных в новых переменных

Подставляя в исходное уравнение эти выражения, получим — канонический вид исходного уравнения.

Пример 3. Преобразовать в канонический вид уравнение

Решение. Вычислим дискриминант Следовательно, уравнение эллиптическое. Составим характеристическое уравнение Решая это уравнение, получим

Откуда , Тогда общими интегралами будут

Обозначим через и введем новые переменные Вычисляя по формулам (5) частные производные и подставляя их в исходное уравнение, получим — каноническая форма для исходного уравнения.

Пример 4. Уравнение в частных производных , заданное в области , преобразовать к каноническому виду.

Решение. Вычислим дискриминант . Следовательно, уравнение является гиперболическим. Составим уравнения характеристик

, .

Решим эти уравнения методом разделения переменных. Преобразуем к виду

, и интегрируя, получим

. .

Следовательно, интегралами будут и . Новыми переменными в этом случае будут

и .

По формулам (6) вычислим коэффициенты нового уравнения:

, , ,

, , , .

Подставим их в уравнение (5а) и получим:

.

Выразим x и y через и h и получим канонический вид исходного уравнения

.

Пример 5. Уравнение , преобразовать к канонической форме.

Решение. Вычислим дискриминант . Составим характеристические уравнения:

, .

Решим их методом разделения переменных:

,

Интегрируя, получим , . Следовательно, новыми переменными будут

, .

Введем вещественные переменные

и .

Вычисляя все коэффициенты нового уравнения по формулам (6) получим искомый канонический вид

.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.6%
НЕТ
41.4%
Проголосовало: 988

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет