Канонический вид гиперболических, параболических
При помощи общих интегралов определяются новые переменные и, поэтому форма записи уравнения в новых переменных будет зависеть от дискриминанта 
. Рассмотрим все возможные случаи 
.
1) Дискриминант 
в области 
. Гиперболический тип уравнения. В этом случае правые части уравнений (10) будут действительными и различными функциями. Решая эти дифференциальные уравнения найдем два общих интеграла 
и 
. Тогда, согласно доказанному выше, полагая в качестве новых переменных 
, 
, получим 
и в новых переменных исходное уравнение будет иметь следующий вид 
.
Преобразуя, получим
, 
.
Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения. Приведем еще одну каноническую форму для гиперболических уравнений. Для этого введем новые переменные
, 
.
Вычислим частные производные
, 
.
Подставляя эти выражения в первую каноническую форму, получим
, 
Это вторая каноническая форма для гиперболических уравнений.
2) Дискриминант 
в области 
. Параболический тип уравнений. В этом случае решения уравнений (10) совпадают и в результате решения этих уравнений получим только один общий интеграл 
. Возьмем в качестве новой переменной 
. В качестве второй переменной возьмем любую функцию 
, функционально не зависящую от 
, то есть такую, что
|
|
|
.
При таком выборе получим
.
При этом 
в силу произвольности 
. Кроме того,
=
.
Учитывая это, получим
, 
.
Получили каноническую форму для параболических уравнений.
3) Пусть дискриминант 
в области 
. Эллиптический тип уравнений. В этом случае правые части уравнений (10) будут комплексными функциями. Тогда общий интеграл также будет комплексной функцией. Обозначим эту функцию через 
. Сопряженная к ней 
также будет общим интегралом. Тогда можно ввести новые комплексные переменные
, 
.
В результате введения этих переменных, как и в случае гиперболических уравнений, получим 
— канонический вид эллиптических уравнений. Рассмотрим также и другую каноническую форму с вещественными переменными. Для этого введем новые, вещественные переменные
, 
.
Откуда получим 
. Вычисляя коэффициенты по формулам (6) получим вторую каноническую форму для эллиптических уравнений
.
Пример 1. Уравнение в частных производных 
, заданное в области 
, преобразовать к каноническому виду.
Решение. Вычислим дискриминант данного уравнения
.
Следовательно, данное уравнение гиперболического типа. Составим характеристическое уравнение 
Откуда получим 
, 
. Решим эти дифференциальные уравнения методом разделения переменных:
Откуда, интегрируя, получим 
или 
. Аналогично решим второе уравнение
|
|
|
Таким образом, общие интегралы будут такими
. Введем, согласно общей теории преобразований, новые переменные
.
По формулам (5) для частных производных 
найдем выражения в новых переменных:
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим канонический вид в новых переменных:
Пример 2. Преобразовать в канонический вид уравнение
Решение. Вычислим дискриминант 
. Дискриминант равен нулю и, следовательно, уравнение параболическое. Составим характеристическое уравнение:
или 
Откуда 
и общий интеграл этого уравнения будет
Введем новые переменные 
и найдем выражения для частных производных в новых переменных
Подставляя в исходное уравнение эти выражения, получим 
— канонический вид исходного уравнения.
Пример 3. Преобразовать в канонический вид уравнение
Решение. Вычислим дискриминант 
Следовательно, уравнение эллиптическое. Составим характеристическое уравнение 
Решая это уравнение, получим
Откуда 
, 
Тогда общими интегралами будут
Обозначим через 
и введем новые переменные 
Вычисляя по формулам (5) частные производные и подставляя их в исходное уравнение, получим 
— каноническая форма для исходного уравнения.
Пример 4. Уравнение в частных производных 
, заданное в области 
, преобразовать к каноническому виду.
Решение. Вычислим дискриминант 
. Следовательно, уравнение является гиперболическим. Составим уравнения характеристик
, 
.
Решим эти уравнения методом разделения переменных. Преобразуем к виду
, 
и интегрируя, получим
. 
.
Следовательно, интегралами будут 
и 
. Новыми переменными в этом случае будут
и 
.
По формулам (6) вычислим коэффициенты нового уравнения:
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Подставим их в уравнение (5а) и получим:
.
Выразим x и y через 
и h и получим канонический вид исходного уравнения
.
Пример 5. Уравнение 
, 
преобразовать к канонической форме.
Решение. Вычислим дискриминант 
. Составим характеристические уравнения:
, 
.
Решим их методом разделения переменных:
, 
Интегрируя, получим 
, 
. Следовательно, новыми переменными будут
, 
.
Введем вещественные переменные
и 
.
Вычисляя все коэффициенты нового уравнения по формулам (6) получим искомый канонический вид
.
