I. Точка разрыва 1 рода
Лекция 6. Непрерывность функции.
6.1. Понятие непрерывности функции в точке.
6.2. Точки разрыва, их классификация.
6.3. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.
6.1. Непрерывность функции в точке.
Пусть функция y = f(x) определена в точке х 0 и в некоторой её окрестности. Значению аргумента х 0 соответствует значение функции y = f(x), а на кривой точка М0(х0,у0).
Дадим аргументу х 0 приращение Δ х (Δ х 0)
Значению аргумента х = х0 + Δ х соответствует значению функции у = f (х) = f (х0 + Δ х), а на кривой т. М(х,у) приращению аргумента Δ х соответствует приращение функции
Δ у = f(x 0+ Δ х) – f(x 0).
Определение. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и при Δ х → 0 приращение функции Δ у стремится к нулю, т. е.
(6.1.1)
Из равенства (6.1.2) и свойств пределов вытекает: для непрерывной функции
, откуда
т. е. предел функции при х → х 0 совпадает со значением функции в
этой точке. На основании пределов следует необходимое и достаточное условие непрерывности в точке х 0.
(6.1.2)
Если в точке х 0 условия (6.1.2) не выполняются, х 0 называется точкой разрыва функции f (x), а функция – разрывной в этой точке.
6.2. Классификация точек разрыва.
При анализе точек разрыва могут представляться следующие случаи.
1. Левый и правый пределы функции существуют, но не равны между собой, т.е.
(рис. 6.2)
2. Левый и правый пределы существуют, равны между собой, но не совпадают со значением функции в точке х 0 (рис. 6.3).
3.Левый и правый пределы функции существуют, равны между собой, но функция в точке х 0 не определена (рис. 6.4).
Во всех рассмотренных случаях (возможны и другие случаи) х 0 называется точкой разрыва 1-го рода. Причем, в последнем случае х 0 называется точкой устранимого разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов (или оба) равен бесконечности, х 0 называется точкой разрыва 2-го рода.
Примеры. Исследовать функции на непрерывность.
1.
, х = 0 – точка разрыва
2.
,
3.
, k > . 0
4.
, х = 0 – точка разрыва
В примерах 1 и 2 мы имеем точки разрыва первого рода. В примерах 3 и 4 – точки разрыва второго вида.
6.3. Свойства функций, непрерывных в точке.
1.Если f(x) и φ(х) непрерывны в точке х 0, то их сумма f(x) ± φ(х), произведение f(x) · φ(х) и частное (φ(х0) ≠ 0) являются непрерывными функциями.
Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывности функции в точке.
2.Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, то существует окрестность этой точки, где f(x) сохраняет знак.
3.Если функция у = f(х) непрерывна в точке х 0, а функция u = φ(x) непрерывна в точке х 0, то сложная функция f [ φ(x) ] непрерывна в точке х 0.
Действительно,
, т.е сложная непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
Определение. Функция, непрерывная в каждой точке замкнутого отрезка [а,b], называется непрерывной на всем отрезке [а,b].
Проиллюстрируем графически ее свойства.
Свойство 1. (Теорема Вейерштрасса)
Если функция у = f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a . b ], то она на нем ограничена (рис.6.9).
Свойство 2. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a . b], то она достигает на этом отрезке наименьшего – m, и наибольшего – М значений.
Т.е. существует т. ξ1 [ a, b ] такая, что f(ξ1)≤f(x) для любого х [ a, b ], f(ξ) = m . и на отрезке [ a, b ] существует ξ2 (ξ2= а), такая, что f(ξ2)≥f(x) для любого х [ a, b ] . f(а)=М. (рис.6.10)
Свойство 3. Если f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a . b], то она пробегает на нем все значения между наименьшим и наибольшим.
Пусть m < . μ < .M, μ – любое.
Существует ξ, а < .ξ< .b такая, что f(ξ)=μ. (рис.6.11)
Свойство 4. Если непрерывная на замкнутом отрезке [a . b] функция меняет на этом отрезке знак, то на [a . b] найдется точка ξ, в которой f(ξ) = 0 (возможно и не одна) (рис. 6.12)
f (ξ1) = f(ξ2) = f(ξ3) = f(ξ4) = 0 (рис. 6.13)
Замечание 1. График непрерывной функции представляется на отрезке [ a, b ] сплошной линией.
Замечание 2. Все элементы функции непрерывны в своей области определения.
Замечание 3. Свойства непрерывных функций можно использовать для решения уравнений f(x) = 0 или неравенств вида f(x) > . 0 и f(x) < . 0.
