При решении инженерных и экономических задач часто возникает задача восстановления интерполяционного многочлена по известным значениям функции и производным в равноотстоящих узлах. Приведем два примера.
1. Пусть переменное движение материальной точки описывается по неизвестному закону 
. При этом известно: координаты точек 
, 
,…, 
. скоростей 
, 
,…, 
. ускорений 
, 
,…, 
….и т.д. до 
, 
,…, 
. Требуется по заданным значениям найти закон движения 
.
2. Пусть объем произведенной продукции описывается неизвестной функцией 
. При этом известно: количество продукции 
, 
,…, 
. производительность труда 
, 
,…, 
. При этом некоторые данные могут отсутствовать. Требуется по заданным значениям восстановить неизвестную функцию и значения.
Итак, имеем следующую постановку задачи.
Пусть функция 
задана в равноотстоящих узлах 
, где 
, и имеется информация о значениях производных произвольного порядка в этих точках, то есть
, 
, 
,…., 
— всего 
значений .
, 
, 
,…., 
— всего 
значений .
, 
, 
,…., 
— всего 
значений .
… … … … … … … … …
|
|
|
, 
, 
,…., 
— всего 
значений.
В общем случае 
, кроме того, информация об промежуточных производных может отсутствовать.
Необходимо получить явный вид функции 
.
Будем называть узел 
, в котором определена 
производная, узлом кратности 
. узел 
в котором определена 
— производная, узлом кратности 
. и т.д… узел 
в котором определена 
— производная, узлом кратности 
.
Решение задачи о нахождении явного вида функции 
будем называть задачей о кратных узлах, а сам полином, аппроксимирующий функцию — полиномом Эрмита.
Поиск общего вида интерполяционного многочлена Эрмита представляет сложную задачу и требует привлечения математического аппарата теории функции комплексного переменного и выходит за рамки настоящего курса.
Можно показать, что искомый многочлен будет n- ой степени, которая определяется из равенства 
, а его аналитическая форма определяется выражением
(42)
где 
— многочлен Лагранжа m-ой степени, построенный по m известным значениям функции 
, 
— многочлен степени m+ 1.
Формула (42) составлена из следующих соображений. В узлах, при 
, где 
, второе слагаемое равно нулю, и значения функции в этих точках равны 
. Таким образом, выражение (42) представляет собой выделение многочлена Лагранжа из многочлена Эрмита, а второе слагаемое степени n должно обращаться в нуль в узловых точках и состоит из произведения многочлена m+ 1 степени[3] и неизвестного многочлена 
, для определения которого продифференцируем (42)
(43)
В узловых точках, второе слагаемое равно нулю, и
(44)
Если информация об интерполируемой функции исчерпывается данными об ее первых производных, то формула (41) будет окончательной и достаточной для восстановления неизвестной функции простым методом Лагранжа. Если известны производные более высоких порядков, то процесс дифференцирования (39) продолжают 
— раз, т.е. до максимальной кратности.
|
|
|
Пример 6. Пусть некоторая функция 
задана в виде
| i | x |  |
 |
 |
Требуется найти многочлен Эрмита, для которого: 
. 
. 
, для 
.
