X-PDF

Интерполяция сплайнами

Поделиться статьей

Пусть отрезок [ a,b ] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) функция непрерывна на отрезке [ a,b ] вместе со своими производными до некоторого порядка p .

2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [ a,b ] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [ a,b ] сама функция (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.

ПРИМЕР 3. Построение параболического сплайна.

Пусть дан фрагмент таблицы значений функции:

x -1    
y 1.5 0.5 2.5

Требуется построить параболический сплайн дефекта 1.

Так как строится сплайн , то он будет представлен двумя полиномами 2-ой степени:

.

Функция должна удовлетворять условиям:

— это есть условие интерполяции .

— это есть условие непрерывности первой производной.

Таким образом, получили 5 условий для нахождения 6-сти неизвестных. Два условия дополнительно накладывают на сплайн в граничных точках.

Возьмем, например дополнительное граничное условие следующего вида .

Тогда получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов :

Эта система легко решается:

, , , , , .

Таким образом:

.

Наиболее широкое распространение получили сплайны 3 степени (кубические сплайны) с дефектом равным 1 или 2. Система для осуществления сплайн-интерполяции кубическими полиномами предусматривает несколько встроенных функций. Одна из них рассмотрена в примере.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

ПРИМЕР 4. Построение сплайн-интерполяции (рис. 10.4).

% Построить интерполяцию сплайнами функции Рунге

% Введём функцию Рунге

f = inline(1./(1+25*x.^2)) .

% Вычислим таблицу значений

x = linspace(-1, 1, 10) .

y = f(x) .

% Вычислим сплайн-интерполяцию

xx = linspace(-1, 1, 100) .

yy = spline(x, y, xx) .

% Начертим графики

axes(NextPlot, Add) .

plot(x, y, LineWidth, 2) .

% Красным на графике — аппроксимация, жирным — исходная функция.

plot(xx, yy, Color, r) .

Рис. 10.4 — построение сплайн-интерполяции

Погрешность приближения кубическими сплайнами.

Пусть функция f имеет на отрезке [ a,b ] непрерывную производную четвертого порядка и .

Тогда для интерполяционного кубического сплайна справедлива оценка погрешности: .


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет