Методы решения уравнений высших степеней.
I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.
Очевидно 
— корень уравнения
Очевидно 
— корень уравнения
Ответ: -5 .2 .3 .4
II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.
Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. 
, 
, 
Возвратные уравнения четной степени.
т.к. 
— не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на 
.
Введем замену.
Пусть 
, 
, получим
. 
Вернемся к замене.
или 
корней нет
Ответ: 
Возвратные уравнения нечетной степени.
Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1
Очевидно 
— корень уравнения.
или 
т.к 
— не является корнем уравнения, то разделим обе части
|
|
|
уравнения на 
Введем замену.
Пусть 
, 
, 
, получим
или 
или 
корней нет 
Ответ: 
, 
, 
III) Уравнения вида 
, где 
решаются как возвратные.
IV) Замена переменных по явным признакам.
V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.
Пример №1
Введем замену.
Пусть 
, 
, тогда
1) если 
, тогда 
, тогда
решений нет
2) Разделим обе части уравнения на 
, получим
Решим последнее уравнение, как квадратное относительно 
, получим
. 
. 
Вернемся к замене.
или 
корней нет
Ответ: 
Пример №2.
Пусть 
, 
, тогда 
Найдем 
Составим систему:
Решая систему подстановкой, получим
или 
корней нет 
. 
Ответ: 
. 
Пример №3.
— не является корнем уравнения
Разделим обе части уравнения на 
, получим
Введем замену.
Пусть 
, тогда
. 
или 
. 
. 
|
|
|
Ответ: 
. 
. 
. 
VI) Уравнения вида 
, где 
эффективно решать перемножением 
и 
, а затем делать замену.
VII) В уравнениях вида 
и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.
(1) 
(2)
При переходе 
область определения уравнения сузилась на 
. Проверим, является ли 
корнем уравнения. Не является.
Введем замену.
Пусть 
, 
, тогда
. 
или 
Ответ: 
. 
VIII) В уравнениях вида 
обе части уравнения делятся на 
— не является корнем уравнения. Разделим на 
, получим
Введем замену.
Пусть 
. 
, тогда
. 
или 
Ответ: 
. 
IX) Выделение полного квадрата.
Введем замену.
Пусть 
, тогда
. 
Вернемся к замене.
или 
корней нет
Ответ: 
X) Решение уравнений с помощью формулы 
или 
корней нет
XI) Уравнения вида 
и к ним сводящиеся решаются при помощи замены 
Введем замену.
Пусть 
, тогда
или 
корней нет
. 
Вернемся к замене.
или 
Ответ: 
. 
