Кроме элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя:
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности.
I. Случаи нахождения предела:
1) 
— когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин .
2) 
— когда функция представляет отношение двух бесконечно больших величин
В этих случаях (по правилу Лопиталя) можно заменять отношение величин отношением их производных, т.е. если 
одновременно стремятся к нулю или бесконечности при 
или 
, то
или 
Замечание: Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу.
Если же отношение производных также будет представлять случай 
или 
, то можно снова и снова применять правило Лопиталя, если это полезно, до получения результата.
Пример 1. Найти 
Решение:
Неопределенность 
. По правилу Лопиталя данный предел равен
В этом примере однократное применение правила Лопиталя снимает неопределенность.
Пример 2. Найти 
Решение: Неопределенность 
. По правилу Лопиталя данный предел равен
что снова приводит к неопределенности 
, тогда снова применим правило Лопиталя
Здесь правило Лопиталя применимо дважды.
Пример 3. Вычислить 
Решение: Неопределенность 
. По правилу Лопиталя данный предел равен
Здесь правило Лопиталя применимо п раз.
II. Случай нахождения предела:
— когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую.
III. Случай нахождения предела:
— когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Замечание: Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям 
или 
путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 4. Найти пределы:
а) 
б) 
Решение: Установив, что имеет место случай 
или 
, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю или бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:
а) 
б) 
III. Случаи нахождения предела:
1) 
— когда функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности.
2) 
— когда функция представляет степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель к нулю.
3) 
— когда функция представляет степень, основание и показатель которой стремятся к нулю.
Замечание: Эти случаи нахождения предела функции также сводятся к случаям 
или 
следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел её логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции.
Пример 6. Найти 
Решение:
1) Сначала устанавливаем, что имеет место случай 
2) Затем логарифмируем функцию и ищем предел её логарифма:
3) здесь нахождение предела свелось к случаю 
.
Применяя правило Лопиталя, получим
4) Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции
ВАРИАНТЫ.
Вычислить:
В-1
В-2
В-3
В-4
В-5
В-6
В-7
В-8
В-9
В-10
В-11
В-12
В-13
В-14
В-15
В-16
В-17
В-18
В-19
В-20
В-21
В-22
В-23
В-24
В-25
ЛИТЕРАТУРА:
1) Зорич В.А. Математический анализ. Ч-I-М.: Наука, 1981
2) Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.-I –М.: Наука, 1971
3) Фихтенгольц Г.И. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1,2,3. –М.: Наука, 1969
4) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. I – М.: Высшая школа, 1981
5) Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. В двух частях. Ч.I. М.: Высшая школа, 1986
6) Справочное пособие по математическому анализу. Ч.I: Введение в анализ, производная, интеграл /Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай и др. Киев, ВШ, 1978
7) Ильин В.А.,Сендов Бл.Х.,Садовничий В.А. Математический анализ, Т. 1,2,3. – М.: Изд-во МГУ, 1985
8) Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1,2. М.: Наука, 1983.
9) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для ВУЗов. М.: АСТ Астрель, 2003.
10)Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов. Ч.1,2. Минск: Высшая школа, 1988
