Комплексный подход к изучению элементарных функций на уроках математики и физики

Комплексныйподход к изучению элементарных функций на уроках математики и физики

                                                                          Алейникова Т.В., Игошин А.В.

МАОУ«Физико-математический лицей № 38 г. Ульяновска»

Специфика работы в физико-математическом лицеепредусматривает большее, чем в обычной школе, сближение курсов физики иматематики. Это обусловлено прежде всего  тем, что программа по математике дляшкол (классов) с углубленным изучением физики составлена с учетом требова­нийфизики: смещено во времени изучение отдельных тем, рекомендуется изучениенекоторых вопросов с точки зрения двух наук: физики и математики. Но этогооказалось недостаточно. Необходимо осуществлять межпредметные связи физики иматематики уже с 5 класса.

Главная задача- наполнить содержание образования по математике физическими задачами,использовать математические методы, но симво­лику и определения, принятые вфизике.

Основные направления:

1. Адаптация курсов физики и математики. Совпадениетем по времени, своевременная пропедевтика понятий и операций.

2. Математика — инструмент для освоенияфизики.  Качественная отработка вычислительных навыков, преобразованиявыражений, действия с числами в стан­дартном виде, определение размерностей.

3. Единообразие записей и формулировок.

        Практика показала, чтонасыщение содержания образования по математике физическими задачами, применениематематических алгоритмов к физическим величинам,  позволяет добитьсяположительного результата при изучении этих понятий в физике, а также расширитькругозор учащихся в восприятии изучаемого материала на математике. Такимобразом, объединяются два предмета в достижении единой цели – получение знаний и применение их в жизни.

           Практически, в каждойтеме школьного курса математики 5-6 классов и алгебры 7-9 классов возможнопривлечение материала из физики. Цель таких уроков  не только  подготовитьматематический аппарат для решения физических задач, но  и показать учащимсямногообразие методов и областей применения математики.

Рассмотрим изучение темы «Линейная функция. Её свойства и график»с точки зрения комплексного подхода.  Решение физических задач по этой темезначительно обогащает интересными фактами абстрактный материал учебника «Алгебра-7»(любого из авторов) и позволяет объединить два предмета для решения однойметодической задачи. Осмысление учащимися свойств линейной функции в применениик физическим процессам, раскрывает прикладной характер математики.

Задача1.

На рис. 16 изображенграфик зависимости скорости движенияавтомобиля по прямой автостраде от времени. Изменя­лась или нет скоростьдвиже­ния автомобиля? Чему равна скорость автомобиля в течение указанного награфике промежутка времени? Задайте формулой зависимость v(t).Найдите путь, пройденный за период от 150 с до 400 с, постройте графикзависимости S(t).

       Работая с этойзадачей на уроке алгебры, мы решаем сразу несколько вопросов, связанных сисследованием линейной функции. 1).Чтение графика линейной функции; определениезависимой и независимой переменной и области их существования с точки зренияфизического смысла величины. 2). Понимание типа движения тела (равномерное) изадание формулой зависимости v(t),которая представляет собой частный случай линейной функции прик=0,(v(t)=20 м/с)). 3).Нахождение длины пути при равномерном движении по формуле S(t)=v·t,(S(t)=20·t(м)).

4). Построение графиказависимости S(t),представляющей собой прямую пропорциональность в осях Sotи последующий анализ взаимосвязи обоих графиков. 5).При этом решается одна изважных задач механики – графическое представление перехода от зависимости однойкинематической величины от времени к другой.

Задача2.

На рис.17 изображеныграфики скорости движения двух тел взависимости от вре­мени. Изменялась ли скорость тел в течение указанногопромежутка времени? Скорость какого тела больше? Какое расстояние пройдеткаждое тело за 5 с? Задайте формулой зависимость v(t)для каждого тела. Найдите путь, пройденный каждым телом за первые 6 с, постройтеграфик зависимости S(t)для каждого из тел. Проанализируйте, как по графикам зависимости пути отвремени определить скорость какого тела больше?

    При разборе этойзадачи решаем аналогичные вопросы, но уже для двух тел, и рассматриваем их вовзаимосвязи двух движений.

Задача3.

На рис. 18 изображеныграфики зависимости пути, пройденного телом при равномерном прямолинейном движении, от времени. Поль­зуясь графиком, заполните табл. 1.  Подумайте и рас­скажите,как можно по графику зависимости пути от времени найти скорость движения?Задайте зависимость v(t)и S(t,постройте график зависимости скорости от времени в осях vоt .

Таблица 1.

Эта задача являетсяобратной к первым двум, и рассуждения строим от зависимости пути от времени кзависимости скорости от времени.

Задача 4.

На рис. 38 приведены графики зависимости величины силы упругости для двухпружин от величины деформации. На какуюиз пружин — I или II — надоподвесить груз большего веса,чтобы величина деформациипружин была одинаковой?

         Анализируярешение этой задачи, обращаем внимание учащихся на вид зависимости междувеличинами F и х (прямо пропорциональная, т.к. графики проходят через началокоординат), а также устанавливаем соотношение между величинами коэффициентов к₁и к₂ в  формуле (чембольше к, тем больше угол наклона к положительной полуоси х). Пропедевтика этихпонятий необходима для понимания сути углового коэффициента линейной функции.Одновременно исследуем формулировку вопроса «надо растянуть сильнее» ипереформулируем, как задачу нахождения большей силы, породившей деформациюпружины (в пружине II).

Задача6.

На рис. 20 изображеныразличные графики. Дайте название каждому графику и расскажите, что можноузнать о движении тел, для которых они были построены.

    Показанные примеры иллюстрируют возможности комплексногоподхода к изучению данной темы. При этом,  вопросы рассматриваются в комплекседвух наук, неотрывно друг от друга., в результате чего, выигрывают и физика, иматематика. Тем более, что обе темы изучаются практически одновременно на обоихпредметах.

     Линию функциональных отношенийможно продолжить и в 8 классе. Учащиеся знакомятся с элементарными функциями иосваивают понятие обратной пропорциональности – функции  .  В этоже время, на уроках физики изучают тему «Тепловые процессы»,  задачи которойтребуют хорошего понимания  такой зависимости и умения применить   знания освойствах функции для решения  графических задач.

     В этих задачах анализпараметров состояния вещества позволяет сделать вывод о зависимости между паройнеизвестных величин, и выбрать соответствующий график на рисунке.

      Аналогичную работу поисследованию функции можно провести и в 9 классе при изучении  темы  «Уравнениеравнопеременного движения». Но в этом случае  мы уже обращаемся к свойствам играфику квадратичной функции +bx+c.Исследование свойств квадратичной функции, монотонности, ее наибольшего илинаименьшего значений, нулей функции – все эти вопросы востребованы всовременном ЕГЭ и ГИА, в задачах разного уровня.

     В14(ЕГЭ,пробник 18.12.2012): Найти наименьшее значение функции . (Задачасводится к нахождению наименьшего значения квадратного трехчлена).

    ЭКР-9 класс. Двематериальные точки, находящиеся в начальный момент времени в точках А(1;3) иВ(0;-2), одновременно начинают двигаться в направлении точки С(1;-2) содинаковыми скоростями, равными 0,5 ед/с, по прямым х = 1 и у = -2соответственно. Через какое время после начала движения расстояние междуточками станет наименьшим? Определите это расстояние. (Комплексная задача поопределению функции, задающей искомое расстояние, (используются знания физики игеометрии), а затем исследование функции на наименьшее значение).

   ,     ,

 ,квадратичная функция, графиком которой является парабола, направленная ветвямивверх, своего наименьшего значения достигает в вершине параболы:   t_верш =  = 7(c),

S_наим = = =  ед

    Физика: 1. Тело,брошенное вертикально вверх, побывало на высоте 45 м дважды с интерваломвремени 8 с. Модуль начальной скорости тела равен:

1)    40м/с;  2) 55 м/с;  3) 50 м/с;  4) 45 м/с;   5) 60 м/с.

Решение: Т.к. тело брошеновертикально вверх, то закон, по которому изменяется высота тела можно записатьв виде  . Учитываяусловие t₂ = t₁ + 8 и g = 10,получим систему уравнений:
 

Тогда: ,

Подставим найденное значение для v₀ в 1уравнение сиcтемы:

откуда =1, . Тогда
 Ответ: 3

2. Камень,брошенный под углом 30º к горизонту, дважды был на одной высоте: спустя 3 с испустя 5 с после начала движения. Определите начальную скорость и максимальнуювысоту.

. Откуда , 160.

    А для того, чтобы работа с функциями не носила лишь эпизодический характер,можно предложить систему работы с устными задачами — «Устный счет». Выполняяежедневно в течение  5 минут такую «умственную зарядку», учащиеся оттачиваютоперации «узнавания» функций, умения читать свойства и осуществлять переход отодной пары взаимосвязанных физических  величин к другой.

Равнопеременноедвижение. Определить соответствие зависимостей υ(t) и х(t).

1 вариант

2 вариант

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

  Вызывая  интерес  к предмету с помощью различных  видов    упражнений,  мы помогаем  ученикам  активно   работать   с   учебным   материалом, что, в свою очередь, пробуждает у них стремление совершенствовать способы  вычислений  и  решения задач.  А  это  -  важнейшее условие сознательного усвоения материала.