Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М0 называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М0 и через некоторую точку линии γ. Точка М0 называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.
Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением
. (1)
является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс
γ: (2)
Доказательство.
Пусть M1 (x1 . y1 . z1) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат .?=ОM1 – прямая, M (x . y . z) принадлежит?. Так как | |, то, такое что
(3)
Так как, то ее координаты x1 . y1 . z1 удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем, где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t2 ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x . y . z) прямой m=ОM1 удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).
Таким образом, любая точка M (x . y . z) прямой m=ОM1 лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM1 =m – прямолинейная образующая поверхности α.
|
|
|
Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:
или
Это сечение является эллипсом с полуосями а и b. Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О (0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат) . образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.
Теорема доказана.
Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.
Свойства конуса 2-го порядка.
1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).
2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно
3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых . плоскостью Oxy – точка О (0,0,0).
4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.
5º Если а = b, то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.
Определение 3: коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.
| p |
| α |
| α |
| α |
Р1 Р2
Эллипс. Парабола (α║р) Гипербола (α║р1, α║р2)
