Конспект урока: Пирамида. Правильная пирамида. Площадь поверхности.

Конспект урока

Учитель: Усенко Д.Н.

Предмет: Математика

Дата проведения: 03.03.2023

Класс: 10-А

Номер урока: 127

Тема урока: Пирамида.Правильная пирамида. Площадь поверхности.

Тип урока: объяснение новогоматериала

Цель урока: дать определение пирамиды, основные видыпирамиды; рассмотреть элементы пирамиды: основание, боковые грани, вершина,боковые рёбра, высота пирамиды, высота боковой грани; формирование уменийучащихся в решении тематических задач.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорный знаний.

— сообщить результаты самостоятельной работы, обсудитьтипичные ошибки.

3. Изучение нового материала.

Пирамида — это многограннаяобъемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками,имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Боковая грань — этотреугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположнаяему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Боковые ребра — это общие стороныбоковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Высота пирамиды — этоперпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Апофема — этоперпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к сторонеоснования.

Диагональное сечение — этосечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональоснования.

Правильная пирамида — этопирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высотаопускается в центр основания.

Боковая поверхность пирамиды — этосовокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Полная поверхность пирамиды — этосовокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Площадь боковой поверхностиправильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды:

Если все боковыеребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центроснования совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный извершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены кплоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют сплоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можноописать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания пододним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамидыпроектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания пододним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды:

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех угловоснования.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми угламик основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские)углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центромописанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят черезсередину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписаннойсферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром иоснованием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центромописанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, одинугол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.

4. Закрепление. Решение задач.

1) Решение задач ЕГЭ (профильный уровень№2):

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O− центр основания, S − вершина, SO=15, BD=16. Найдите боковое ребро SA. (17)

2. В правильнойтреугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно,что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длинуотрезка SM.

Решение. Найдем площадь грани SAB:

Отрезок SM является медианой равнобедренноготреугольника SAB, проведённой к его основанию, а значит, SM является и еговысотой. Тогда

Ответ: 10

2) Решение задач из учебника:

№ 242

Пусть PA⊥ABCD иугол между гранью PCD и плоскостью ABCD равен 45°. Так как AD⊥CD и AD -проекция PD, то PD⊥CD. Таким образом ∠PDA = 45°.Обозначим сторону квадрата за a. AD=AB=BC=CD=a. Тогда

 , 

Таккак РА⊥АС то потеореме Пифагора PC = а√З. Таким образом PC — наибольшее ребро, поэтому,

 

а) Высота пирамиды — это PA.  см.

б)

5.Рефлексия. Итоги урока.

-определение пирамиды и ее элементы;

-правильная пирамида;

-формула площади полной поверхности.

6.Домашняя работа: п. 32 выучить, №240, 243 решить