МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«МАКЕЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ
Применение определенного интеграла для нахождения площадикриволинейной трапеции.
дисциплина ОДП.01 Математика
специальность 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонтавтомобильного транспорта.
Макеевка, 2018
Методическая разработка открытого занятияпо теме: «Применение определенного интеграла для нахождения площадикриволинейной трапеции», дисциплина ОДП.01 Математика
Разработчик: И.И. Мальцева — преподаватель математики,преподаватель первой квалификационной категории ГПОУ «Макеевскийполитехнический колледж» — 2018
Рецензенты:
Представленаметодика проведения комбинированного занятия по теме «Применениеопределенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»с использованием информационных технологий с целью визуализации процессаобучения.
Для преподавателей математики средних профессиональных образовательных учреждений Донецкой Народной Республики
Рассмотрено на заседании цикловой комиссии математики ивычислительной техники
Протокол №____ от «__________» 2018г.
Председатель цикловой комиссии ________________ И.И. Мальцева
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность выбранной темы дляпроведения открытого учебного занятия объясняется тем, математика занимаетособое место в образовании человека, что определяется безусловной практическойзначимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышлениячеловека, её вкладом в создание представлений о научных методах познаниядействительности. Являясь частью общего образования, среди предметов,формирующих интеллект, математика находится на первом месте. Математикаявляется фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимсяустойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся.
Общие цели изучения математикитрадиционно реализуются в четырех направлениях:
– общеепредставление об идеях и методах математики;
– интеллектуальноеразвитие;
– овладениенеобходимыми конкретными знаниями и умениями;
– воспитательноевоздействие.
Профилизация целей математическогообразования отражается на выборе приоритетов в организации учебной деятельностиобучающихся. Для технического профиля профессионального образования выбор целейсмещается в прагматическом направлении, предусматривающем усиление и расширениеприкладного характера изучения математики, преимущественной ориентации наалгоритмический стиль познавательной деятельности.
ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ
Вычисления определенных интегралов – однаиз важных составляющих при изучении темы «Применениеопределенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции».Основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x)по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчислениеимеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Онодает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д., чтонеобходимо для понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностямипрофессий и профессиональной деятельности, в основе которых лежат знания поданному учебному предмету.
Изучение нового материла построено такимобразом, что обучающиеся принимают активное участие в выводе алгоритмаприменения метода вычисления криволинейной трапеции. Приводится много примеров,где в практической деятельности необходимы эти умения. На этапе закрепленияматериала для самостоятельного выполнения предлагаются задачи на вычислениеопределенного интеграла прикладного характера.
План занятия
Группа:ОРА 17/1 Дата:20.02.2018г.
Специальность:23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта.
Тема занятия:«Применение определенного интеграла для нахождения площадикриволинейной трапеции».
Цель занятия:
Методическая:
– совершенствоватьметодику проведения лекционного занятия с применением информационных технологий.
Дидактическая (учебная):
– формироватьпредставление о нахождения площади криволинейной трапеции с помощьюпервообразной;
– закрепитьумение вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;
– формироватьумение вычислять площади криволинейной трапеции с помощью определенногоинтеграла;
Дидактическая (развивающая):
– развиватьпознавательную активность студентов, умений применять полученныезнания на практике;
– развиватьабстрактное мышление, способность выделять главное, анализировать, сравнивать,определять и объяснять понятия;
– формироватьумение строить логическую цепочку рассуждений;
– развиватьпредставление о практическом применении математических знаний.
Воспитательная:
– воспитыватьположительное отношение к знаниям, интерес к учебному предмету;
– воспитыватьдисциплинированность;
– формироватьумение осуществлять самоконтроль, саморегуляцию, способность своевременновыявлять пробелы в собственных знаниях.
Вид занятия: комбинированное занятие.
Формы и методы проведения занятия: словесные,наглядные, опережающие
Междисциплинарные связи:
обеспечивающие:ОДП.01.Математика («Функции и их свойства», «Построение графиков функций с помощьюпреобразований», «Графики основных элементарных, тригонометрических,показательных функций», «Первообразная функции. Неопределенный интеграл»,«Определенный интеграл и его применение»)
обеспечиваемые:ОДП.02Физика, ОП.02 Техническая механика, ОП.05 Мерологиястандартизация и сертификация (Характеристика, расчет и выбор переходныхпосадок), ОП.11 Гидравлические и пневматические системы.
Предложенная методика проведения занятияформирует у студентов общие компетенции:
ОК 1. Понимать сущность и социальнуюзначимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственнуюдеятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональныхзадач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных инестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
и профессиональныекомпетенции, соответствующие виду деятельности:
ПК 1.1. Организовывать и проводить работы потехническому обслуживанию и ремонту автотранспорта.
ПК 1.2. Осуществлять технический контроль прихранении, эксплуатации, техническом обслуживании и ремонте автотранспорта.
ПК 1.3. Разрабатывать технологические процессы ремонтаузлов и деталей.
Методическое обеспечение: рабочаяучебная программа, учебно-методический комплекс по дисциплине ОДП.01 Математика;методическая разработка открытого занятия; мультимедийные и видео материалы; раздаточныйматериал, опорный конспект.
Технические средства обучения: мультимедийныйпроектор, ноутбук, экран.
Литература:
1. Алгебра иначала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват.организаций: базовый и углубл. уровни / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М. В.Ткачева и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 463 с.
2. Нелин Е.П.Алгебра и начала анализа: Двухуровневый учеб. для 11 кл. общеобразоват. учеб.заведений. – 2-е изд. – Х.: Мир детства, 2010. – 416 с.
3. https://www.desmos.com/calculator
Структура занятия
|
1. |
Организационная часть — приветствие — фиксирование отсутствующих |
1мин.
|
|
2. |
Ознакомление студента с темой и целью занятия |
1мин. |
|
3. |
Мотивация учебной деятельности |
2 мин. |
|
4. |
Актуализация опорных знаний |
10 мин. |
|
5. |
Формирование новых знаний и способов действий |
25 мин. |
|
6. |
Применение знаний, формирование умений |
30 мин. |
|
7. |
Итоги занятия. |
5 мин. |
|
8. |
Объявление домашнего задания |
1 мин. |
|
9. |
Рефлексия |
1 мин. |
Ход занятия
1. Организационнаячасть
Преподаватель приветствует студентов назанятии: «Добрый день, уважаемые студенты. Я рада видеть здесь всехприсутствующих и надеюсь на совместную плодотворную работу. Проверьте наличиерабочих тетрадей, инструментов Проверим присутствующих.»
Старостагруппы называет отсутствующих и причину отсутствия.
«Есливсе готовы к занятию, тогда начинаем.»
2. Ознакомление студентов с темой и учебными целями занятия
Тема нашего занятия: «Применениеопределенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции».
Цель занятия: –закрепитьнавыки нахождения определенного интеграла, усвоить понятие «криволинейнаятрапеция», усвоить различные способы нахождения площади криволинейной трапеции;рассмотреть прикладное назначение первообразной. Помощникамив работе будут опорные конспекты. Подпишите, пожалуйста, свой конспект.
3. Мотивация изучения.
Иногда, особенно когда у вас что–нибудь вматематике не получается, выпугаетесь, а потом возмущаетесь и задаете мне один и тот же вопрос: «Зачем мыэто изучаем? Где нам это потребуется?»
Так вот сегодняшний занятие как раз будет одним изответов на ваш вопрос. Мы сегодня узнаем зачем, где и как применяется изучаемыйнами материал.
А начну я вот с какой истории.
В средние века жил английский ученый, которому нужнобыло точно вычислить площадь Англии. Он знал только точную площадь одного изграфств и имел при себе карту Англии. Как вы думаете, каким способом этотученый вычислил площадь своей страны?
Он вырезал контуры Англии и графства из карты и нашелотношение их весов. Точно в такой же пропорции соотносились и площади.
Безусловно, способ очень оригинальный. И, конечно,использовать такой способ не совсем удобно.
Вы уже поняли, наверное, что сегодня на уроке мы свами будем говорить о площадях. Причем о площадях необычных фигур.
4. Актуализация опорных знаний. Проводится в форме фронтального опроса и тестирования
Тест Проверка теоретическихзнаний
1. Чемуравен нижний предел интегрирования в интеграле 
.
а)5
б)f
в)-3
г)
.
2. Данныйинтеграл равен:
а)0
б)-4
в)4
г)8
3. Вданном интеграле подынтегральная функция равна: 
а)
б)
в)0
г)2
4. Данный интеграл равен: 
а)1
б)С
в)0
г)зависит от подынтегральной функции
5. Выражениеданного вида 
называется:
а)определенный интеграл
б)неопределенный интеграл
в)интегралом функции
г)дифференциалом
6. Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы:
а) Лейбница
б) Ньютона
в) Лагранжа
г)Ньютона-Лейбница
7. При перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле,интеграл …
а)не изменится
б)увеличится в 2 раза
в)поменяет знак
г)подынтегральная функция изменится на обратную
А теперь ответьте на несколько вопросов.
1) Чтоназывается первообразной?
(Функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке,если для любого х из данного промежутка F(x)= f (x)..)
2) Чтоназывается неопределенным интегралом от данной функции?
(выражениеF(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенныминтегралом.)
3) Сформулируйтеопределение определенного интеграла.
(ПриращениеF(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x) + C при изменении аргумента отх=а до х=b называется определенным интегралом от а до b функции f(x): 
.)
4) Вчем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
(Определенныйинтеграл – это площадь фигуры, сверху ограниченной графиком функции f(x), снизу- осью абсцисс, по бокам — прямыми х=а и х=b.)
5) Записатьформулу Ньютона-Лейбница.
5. Формирование новых знаний и способов действий.
1) И так,определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительнойфункции f(х), осьюабсцисс и прямыми х=а, х=b. Такаяфигура называется криволинейной трапецией.
Сегодня мы узнаем, что такое криволинейная трапеция ирассмотрим различные способы нахождения ее площади с помощью определенногоинтеграла.
Запишите в конспекте тему урока: «Применение определенного интеграла для нахождения площадикриволинейной трапеции.» (слайд 2).
2) Что же такоекриволинейная трапеция?
Пусть на отрезке [ab] осиабсцисс определена функция у=f(х)>0. Фигура,ограниченная графиком этой функции, отрезком [ab] и прямымих=а, х=bназывается криволинейной трапецией (слайд 5). В конспекте рядом с чертежомзапишите определение.
3) Исходя из геометрического смысла определенногоинтеграла, площадь криволинейной трапеции равна: 
(слайд 6), где пределыинтегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваемтрапецию, а подынтегральная функция – та, график которой ограничивает трапециюсверху.
4) Рассмотрим следующие фигуры.
a) (слайд 7) Фигураограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a, b] и прямыми х=а,х=b.Заштрихуйте фигуру, ограниченную этими линиями.
Как можноопределить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке[a, в]).
Но этафигура находится «ниже» оси Ох и вычисляя интеграл мы получим отрицательноезначение, чего не может быть при вычислении площади.
Следовательно,площадь равна: 
(прописать).
Запишите вконспектах правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 8)
b) (слайд 9). Покажитекриволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).
На какомотрезке рассматривается данная фигура?
Как найтиконцы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобынайти абсциссы этих точек функции надо приравнять).
А каквычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур сплощадями S1 и S2).
Следовательно,S=S1–S2 (прописать).
Запишите вконспектах правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 11)
c) (слайд 12).Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций g(x) и f(x) и осью абсцисс.
В чемособенность этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверхуограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [a,0],другая – графиком g(x) на отрезке[0, b]).
Следовательно,S=S1+S2 (прописать).
d) Заштрихуемфигуру, ограниченную графиком функции f(x). Этафигура состоит из 4-х одинаковых фигур. Если проинтегрировать функцию у=f(x) наотрезке [0; A] иумножить на 4, то получим искомую площадь.
Следовательно,S = 4S1 (прописать).
Запишите вконспекте правило нахождения площади рассмотренных фигур. (слайд 13)
Обобщим полученные знания и составим алгоритмнахождения площади криволинейной трапеции (слайд 14)
1. Изобразитьчертеж и убедится, является ли данная фигура криволинейной трапецией.
2. Найтипервообразную 
3. Применитьформулу 
6. Применение знаний, формирование умений
Рассмотрим примеры и выбирая нужную формулусчитаем площади:
1) Пример 1. Найти площадь фигуры,ограниченной графиком
функции 
, осью абсцисс (Ox) ипрямыми x=1, x=3.
Построим функцию и прямые. 
гипербола с областьюопределения 
Применяя формулу 
найдем площадь закрашеннойфгуры.
2) Пример 2. Найти площадь фигуры,ограниченной параболой 
и осью абсцисс (Ox).
Строим параболу. Для этого находм ее вершну 
. Точки пересечения с осью(Оу) 
и симетричная ей (6;5) и осью(Ох).
По еореме Виетта корниуравненния 
Получаем параболу. Штрихуем нужную область.
Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисленияеё площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являютсяабсциссы 
и 
точек пересечения параболы сосью Ox. Следовательно,
кв.ед.
3) 
Пример 3. Найти площадь фигуры,ограниченной функциями 
и 
.
Построим графики данныхфункций и найдем их точки пересечения.
Строим параболу. Для этого находм еевершну 
. Точки пересечения с осью(Оу) 
и симетричная ей (-4;5) с осью(Ох) точек пересеченя нет.
прямая, для ее построениядостаточно двух точек 
и 
Найдемточки пересечения двух функций 
Неполное квадратное уравнение.
Получили пределыинтегрирования
кв.ед.
4) Пример4. Определить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+3,y=2-x и осью абсцисс.
Построимпрямые для этого возьмем по две точки
|
x |
y |
|
x |
y |
|
-3 |
0 |
|
0 |
2 |
|
0 |
3 |
|
2 |
0 |
Даннуюфигуру можно разбить на две части. Поэтому для вычисления её площади воспользуемсяформулой (4). Пределами интегрирования являются абсциссы 
и 
,
Следовательно
кв. ед.
7. Итоги занятия.
Сегодня мы познакомились с понятием «криволинейная трапеция»,узнали, как можно вычислять ее площадь, рассмотреливозможные фигуры ограниченные функциями и формулы для нахождения их площадей. Составилиалгоритм нахождения этих площадей. Применили данный алгоритм к решению задач.
8. Объявление домашнего задания.
Вычислить площади фигур изображенных на рисунках в ваших опорныхконспектах.
9. Рефлексия
Хотелось бы закончить наше занятиестихотворением, которое доказывает тесную связь математики даже с литературой.
Математика и литература – две ветви человеческой культуры,
Такие, разные, как буква и число, неразделимые, как лодка и весло.
Что их роднит, объединяет в вечность? Великой мысли дух и бесконечность!
Ведь сколько сил приложил граф Толстой, чтоб математике учитьнарод простой.
Он «Арифметику» создал для них понятную, без лишней сложности идля ума приятную!
А первою любовью Софьи Ковалевской был молодой ещё писатель ФедорДостоевский.
Который позже, в размышлениях беспечных блуждал по миру линийбесконечных.
А Лейбниц Брюсовым воспет как мудрости, пророчества рассвет,
Создатель многих вещих книг, которых современник не постиг!
Великий Лермонтов любил решать задачи, с числом и слово ярче,веселей, богаче!
И подтверждает это Грибоедов, дипломат, окончив в МГУ физмат.
И «человек есть дробь» — сказал Толстой, учитель, чтопредставляешь ты собой, есть твой числитель. А что ты мыслишь о себе, естьзнаменатель.
Сочти, какая дробь ты, дорогой приятель!
Что есть число: основа жизни нашей! Число направит жизнь влогическое русло,
Без слова в этой жизни будет грустно! Числу присущи нормы изадачи,
От слова ждём добра, успеха и удачи. Великие умы числу началальстили,
И возвеличивали, и превозносили! Но величать «Число» они призвали«Слово»!
Так что важней, что есть первооснова? Как в жизни нашей каждыйдень единствен,
Великолепен, положителен, таинствен.
Так слово и число едины в мирозданье, Два величайших человеческихсоздания!
Приложение А
Тест Проверка теоретическихзнаний
1. Чемуравен нижний предел интегрирования в интеграле 
.
а)5
б)f
в)-3
г)
.
2. Данныйинтеграл равен:
а)0
б)-4
в)4
г)8
3. Вданном интеграле под интегральная функция равна: 
а)
б)
в)0
г)2
4. Данныйинтеграл равен: 
а)1
б)С
в)0
г)зависит от под интегральной функции
5. Выражениеданного вида 
называется:
а)определенный интеграл
б)неопределенный интеграл
в)интегралом функции
г)дифференциалом
6. Определенныйинтеграл вычисляется с помощью формулы:
а) Лейбница
б) Ньютона
в) Лагранжа
г)Ньютона-Лейбница
7. Приперестановке пределов интегрирования в определенном интеграле, интеграл …
а)не изменится
б)увеличится в 2 раза
в)поменяет знак
г)подынтегральная функция изменится на обратную
Приложение Б
Презентация
