X-PDF

Криволинейный интеграл первого рода

Поделиться статьей

Пусть функция определена и непрерывна на некоторой кривой AB в плоскости .

Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками

,

выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку (рис. 7.1) и составим сумму

,

где – длина дуги . Данная сумма называется интегральной суммой для функции по кривой AB. Обозначим через наибольшую из длин частичных дуг :

.

Рис. 7.1. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае

криволинейного интеграла первого рода

Определение. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

.

Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая ABконтуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Определение. Кривая, заданная параметрически уравнениями

,

называется гладкой, если функции и непрерывны и имеют непрерывные производные и , не обращающиеся в нуль одновременно (тем самым кривая в каждой точке имеет касательную).

Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.

Кривая, заданная явно уравнением , будет гладкой, если функция и ее производная непрерывны на отрезке .

Теорема 7.1 (существования криволинейного интеграла первого рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривой AB, интегрируема по этой кривой.

Замечание. Если положить всюду на кривой AB, то из определения криволинейного интеграла первого рода легко получить формулу для вычисления длины дуги l кривой AB с помощью криволинейного интеграла первого рода:

или

.

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если кривую AB разбить на две кривые AC и CB, то интеграл по всей кривой AB будет равен сумме интегралов по кривым AC и CB:

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна вдоль гладкой кривой AB, то на этой кривой существует такая точка , что справедлива формула

,

где l – длина кривой AB.

Свойство 5. При изменении направления интегрирования величина интеграла не изменяется:

.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла следующими способами.

Если кривая AB задана параметрически уравнениями , то

.

Если кривая AB задана явно уравнением , то

.

Если кривая AB задана явно уравнением , то

.

Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями , формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода имеет вид

,

аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

,

где AB – отрезок прямой от точки до точки .

Имеем

.

По формуле вычисления криволинейного интеграла первого рода получаем

.


Поделиться статьей
Автор статьи
Анастасия
Анастасия
Задать вопрос
Эксперт
Представленная информация была полезной?
ДА
58.94%
НЕТ
41.06%
Проголосовало: 777

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram

ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ТУРНИРА ЧГК

Поделиться статьей

Поделиться статьей(Выдержка из Чемпионата Днепропетровской области по «Что? Где? Когда?» среди юношей (09.11.2008) Редакторы: Оксана Балазанова, Александр Чижов) [Указания ведущим:


Поделиться статьей

ЛИТЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ

Поделиться статьей

Поделиться статьейЛитейные дефекты — понятие относительное. Строго говоря, де­фект отливки следует рассматривать лишь как отступление от заданных требований. Например, одни


Поделиться статьей

Введение. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси

Поделиться статьей

Поделиться статьей1. Псковская Судная грамота – крупнейший памятник феодального права эпохи феодальной раздробленности на Руси. Специфика периода феодальной раздробленности –


Поделиться статьей

Нравственные проблемы современной биологии

Поделиться статьей

Поделиться статьейЭтические проблемы современной науки являются чрезвычайно актуальными и значимыми. В связи с экспоненциальным ростом той силы, которая попадает в


Поделиться статьей

Семейство Первоцветные — Primulaceae

Поделиться статьей

Поделиться статьейВключает 30 родов, около 1000 видов. Распространение: горные и умеренные области Северного полушария . многие виды произрастают в горах


Поделиться статьей

Вопрос 1. Понятие цены, функции и виды. Порядок ценообразования

Поделиться статьей

Поделиться статьейЦенообразование является важнейшим рычагом экономического управления. Цена как экономическая категория отражает общественно необходимые затраты на производство и реализацию туристского


Поделиться статьей

или напишите нам прямо сейчас:

Написать в WhatsApp Написать в Telegram
Заявка
на расчет